【位运算经典应用】 N皇后问题

说到位运算的经典应用，不得不说N皇后问题。

学过程序设计的都知道N皇后问题，没听过也没关系。很简单，最传统的的N皇后问题是这个样子的，给你一个n * n大小的board，让你放n个皇后（国际象棋），要满足任意两个皇后不能在一条水平线上，不能在一条垂直线上，也不能在一条45度的斜线上。听起来似乎和数独挺像，其实N皇后的条件更苛刻，除了水平垂直线外，数独只有两条对角线，而N皇后有很多条斜线，这点需要注意。

为了判断程序的正确性，正好leetcode上有道题可以测试N-Queens II，也是最经典的N皇后问题，给出n求得摆法的数量。

常规解法

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一个很显而易见的解法是递归求解，从上到下一行一行摆下去，并且记录每行摆的位置，因为下一行摆放的位置要根据上面的摆放情况来确定。这里我们定义了一个pos数组，pos[1]的值表示摆在第一行的皇后所在的列，pos[2]的值表示摆在第二行的皇后所在的列，以此类推，所以摆到第n行时，上面摆放的皇后的位置就可以很容易地得到，从而可以进行判断（该行什么位置可以摆放）。

当摆放到第r行时，我们遍历该行所有的n个位置，判断每个位置（r行c列）是否可以摆放，需要与前面摆放的每个皇后比较，是否在一条水平线上（这是不可能的），是否在一条垂直线上，是否在一条斜线上：

function check(r, c) {
  for (var i = 1; i < r; i++) {
    if (Math.abs(i - r) === Math.abs(pos[i] - c)) // 一条斜线上
      return true;

    if (c === pos[i]) // 一条竖直线上
      return true;
  }

  return false;
}

整个代码也就显而易见了：

var pos;

function check(r, c) {
  for (var i = 1; i < r; i++) {
    if (Math.abs(i - r) === Math.abs(pos[i] - c)) // 一条斜线上
      return true;

    if (c === pos[i]) // 一条竖直线上
      return true;
  }

  return false;
}

function dfs(r, n) {
  if (r === n + 1)
    return 1;

  var ans = 0;

  for (var i = 1; i <= n; i++) {
    if (check(r, i)) continue;
    pos[r] = i;
    ans += dfs(r + 1, n);
  }

  return ans;
}

var totalNQueens = function(n) {
  pos = [];
  return dfs(1, n);
};

位运算解法

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在读下文前，请先阅读【位运算经典应用】标志位与掩码会事半功倍。

位运算解法，递归是避免不了的，能优化的在于check()函数部分。

假设一个4 * 4的board，我们在第一行第三列上摆了个皇后，其实它已经把第一行之后的6个位置给ko掉了：

- - o -
- X X X
X - X -
- - X -

我们用flag=2(1<<2)记录第一行摆下的这个位置，在第二行中，很显然（1<<2)这个位置已经不能摆了，而(2<<1)这个位置也不能摆，(2>>1)这个位置也不能摆。如果要在第二行右起第1个摆下皇后，我们用flag2=1(1<<1)记录这个决定，我们只需用flag2和以上算出来的不能摆的位置去做个与运算，看看有没有冲突即可。结果(2>>1)&(1<<1)得到了非0的数，表示两者冲突，所以该位置摆放失败。

假设我们接着在第二行左起第一个摆放了皇后，对于第三行的摆放来说，第一行摆的皇后对它还是有影响的，比如它不能摆在第三行左起第一个位置，因为(2<<2)&(1<<4)！==0，冲突。而(2<<2)正是在第二排摆放决策中(2<<1)<<1。看到这里你也许应该有了思路，没错，我们可以维护三个数，l, r, c, 用来表示该行被右上角斜线，左上角斜线，正上方直线所影响而不能摆放的位置。三个数每次与欲摆放的位置作与运算，求解是否冲突，如没有，l和r分别左移右移后继续递归。

function dfs(l, r, c, index, n) {
  if (index === n)
    return 1;

  var ans = 0;

  for (var i = 0; i < n; i++) {
    var tmp = 1 << i;
    if ((tmp & l) || (tmp & r) || (tmp & c)) continue;
    ans += dfs((tmp | l) << 1, (tmp | r) >> 1, tmp | c, index + 1, n);
  }

  return ans;
}

var totalNQueens = function(n) {
  return dfs(0, 0, 0, 0, n);
};