[家里蹲大学数学杂志]第053期Legendre变换

$\bf 题目$. 设 $\calX$ 是一个 $B$ 空间, $f:\calX\to \overline{\bbR}\sex{\equiv \bbR\cap\sed{\infty}}$ 是连续的凸泛函并且 $f(x)\not\equiv \infty$. 若定义 $f^*:\calX^*\to \overline{\bbR}$ 为 $$\bex f^*(x^*)=\sup_{x\in\calX}\sed{\sef{x^*,x}-f(x)}\quad\sex{\forall\ x^*\in \calX^*}. \eex$$ 求证: $f^*(x^*)\not\equiv \infty$.

证明: 设 $x_0\in \calX$ 适合 $f(x_0)<\infty$. 则由 $f$ 凸及在 $x_0$ 处连续知 $\p f(x_0)\neq \emptyset$. 令 $x_0^*\in \p f(x_0)$, 则 $$\bex f(x)\geq f(x_0)+\sef{x_0^*,x-x_0}\quad\sex{\forall\ x\in\calX}, \eex$$ 而 $$\bex \sef{x_0^*,x}-f(x) \leq \sef{x_0^*,x_0}-f(x_0)<\infty, \eex$$ 即有 $$\bex f^*(x_0^*)\leq\sef{x_0^*,x_0}-f(x_0)<\infty. \eex$$