[Luogu 4912 帕秋莉的魔法] 题解报告

• 算法：DP, 背包，动态规划

• 简化版题目：

给定 \(n\) 个物品，物品的价值为 \(v_1 - v_n\)，物品的体积为 \(w_1 - w_n\)。需要选择一些物品，使它们的体积和为 \(V\) ，同时让他们的价值和最大。需要注意的是，如果先选择了物品 \(i\) ，后选择了物品 \(j\) （\(i < j\)），那么可以额外获得 \(add_{i, j}\) 的价值。

• 题目分析：这道题我用的是刷表法（不知道什么是刷表法的请自查）

首先，这道题明显是一道 01背包 吧（

但是这道题和普通01背包不一样的地方是，当我们选择当前物品是，还需要考虑下一个要选择的是什么物品（因为有可能额外增加价值嘛...毕竟还是想多赚一点）。

所以，我们在 01 背包的 dp 数组基础上多开一维，用来记录当前在选择第几个物品。这样，我们在转移的时候，用 for 循环枚举的时候，就可以清楚的查询到上次使用的魔法是什么了。

设当前要选择第 \(i\) 个魔法，接下来要选的是第 \(j\) 个魔法，在选择 \(i\) 的时候已经用掉了 \(k\) 的背包容积。

转移方程为： \(f_{j, k + w_j} = max(f_{j, k + w_j}, f_{i, k} + v_j + add_{i, j})\)。

代码大概长这个样子（注意这是错误代码 ...）

   memset(f, -0x3f, sizeof f);
   f[0][0] = 0;

   for (int i = 0; i <= n; i ++ )
   	for (int j = i + 1; j <= n; j ++ )
   		for (int k = m; k >= 0; k -- )
   			f[j][k + w[j]] = max(f[j][k + w[j]], f[i][k] + v[j] + add[i][j]);

恭喜你拿到了 50 pts。

为什么呢？不知道你有没有注意到题目的数据范围的绝对值符号...难道魔法咒语的长度还能为负数（对于这点我是真的雾

所以，我们需要在 \(f\) 数组上面加上一个偏移量 \(delta\) （因为数组下标不能为负数嘛）

对于无解输出 -1 的情况，特判掉就可以了。如果每个咒语魔法值都是负的，增加的魔法值 \(add\) 也都取成最小，那么答案最劣就是 （$ -50-50$） \(\times \ 50 = -5000\)，也就是说，如果我们的结果小于 -5000，那么可以直接判定为 -1 。

• 参考代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 52, M = 2500;

int v[N], w[N];
int f[N][(M << 1) + 10];
int n, m, add[N][N];
int delta = 2500;

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);

	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
		scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);

	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
		for (int j = 1; j <= n; j ++ )
			scanf("%d", &add[i][j]);

	memset(f, -0x3f, sizeof f);
	f[0][delta] = 0;

	for (int i = 0; i <= n; i ++ )
		for (int j = i + 1; j <= n; j ++ )
			for (int k = delta << 1; k >= 0; k -- )
				f[j][k + w[j]] = max(f[j][k + w[j]], f[i][k] + v[j] + add[i][j]);

	int res = -0x3f3f3f3f;

	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
		res = max(res, f[i][m + delta]);

	printf("%d\n", (res < -5000 ? -1 : res));

	return 0;
}

这样就轻松拿到 rk1 辣

再贴一个拿到 rk2 的填表法代码叭（就当免费赠送了

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 60, M = 2510;
int f[N][M << 1]; // f[i][j] 表示选择第 i 个物品，体积为 v 的价值。
int n, m;
int v[N], w[N], add[N][N];
int delta = 2500;

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m); // n 为物品数量，m 为背包容积

	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
		scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);

	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
		for (int j = 1; j <= n; j ++ )
			scanf("%d", &add[i][j]);

	memset(f, -0x3f, sizeof f);
	f[0][delta] = 0;

	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) // 枚举当前要用什么魔法
		for (int j = delta + delta; j >= v[i]; j -- ) // 枚举当前剩余咒语长度（容积）
			for (int k = 0; k < i; k ++ ) // 枚举上一个使用的是什么魔法
				f[i][j] = max(f[i][j], f[k][j - v[i]] + w[i] + add[k][i]);

	int res = -0x3f3f3f3f;
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
		res = max(res, f[i][m + delta]);

	printf("%d\n", (res < -5000) ? -1 : res);

	return 0;
}

完结撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿