[ABC309Ex] Simple Path Counting Problem

Problem Statement

We have a grid with $N$ rows and $M$ columns. We denote by $(i,j)$ the cell in the $i$-th row from the top and $j$-th column from the left.

You are given integer sequences $A=(A_1,A_2,\dots,A_K)$ and $B=(B_1,B_2,\dots,B_L)$ of lengths $K$ and $L$, respectively.

Find the sum, modulo $998244353$, of the answers to the following question over all integer pairs $(i,j)$ such that $1 \le i \le K$ and $1 \le j \le L$.

A piece is initially placed at $(1,A_i)$. How many paths are there to take it to $(N,B_j)$ by repeating the following move $(N-1)$ times?
- Let $(p,q)$ be the piece's current cell. Move it to $(p+1,q-1),(p+1,q)$, or $(p+1,q+1)$, without moving it outside the grid.

Constraints

$1 \le N \le 10^9$
$1 \le M,K,L \le 10^5$
$1 \le A_i,B_j \le M$

先考虑如何计算某一个点到另一个点的方案数。

定义 $dp_{i,j}$ 为到达 $(i,j)$ 的方案数，那么 $dp_{i,j}=dp_{i-1,j-1}+dp_{i-1,j}+dp_{i-1,j+1}$。

看似可以多项式快速幂优化，但是会发现有边界问题。

如何解决边界问题？对称一下，使 $dp_{n+1-i}=-dp_i$，然后卷积的时候就可以把 $j\le N$ 的限制给去掉。

$x>0$ 的限制怎么去？用 $2n+2$ 的循环卷积即可。

然后循环卷积快速幂就可以了。

原题也一样，循环卷积跑出来 $(1+x+x^{-1})^N$ 的系数卷上 $A$ 数组就可以了。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=524288,P=998244353;

int n,m,k,a,b,rr[N],ans,f[N],g[N],h[N],p,l;

int read()

{

    int s=0;

    char ch=getchar();

    while(ch<'0'||ch>'9')

        ch=getchar();

    while(ch>='0'&&ch<='9')

        s=s*10+ch-48,ch=getchar();

    return s;

}

int pown(int x,int y)

{

    if(!y)

        return 1;

    int t=pown(x,y>>1);

    if(y&1)

        return 1LL*t*t%P*x%P;

    return 1LL*t*t%P;

}

void ntt(int a[],int op)

{

    for(int i=1;i<N;i++)

        if(rr[i]<i)

            swap(a[i],a[rr[i]]);

    for(int md=1;md<N;md<<=1)

    {

        int g=pown(op? 3:332748118,(P-1)/(md<<1));

        for(int i=0;i<N;i+=md<<1)

        {

            int pw=1;

            for(int j=0;j<md;j++,pw=1LL*g*pw%P)

            {

                int x=a[i+j+md]*1LL*pw%P;

                a[i+j+md]=(a[i+j]+P-x)%P;

                (a[i+j]+=x)%=P;

            }

        }

    }

    if(!op)

    {

        int ivN=pown(N,P-2);

        for(int i=0;i<N;i++)

            a[i]=1LL*a[i]*ivN%P;

    }

}

void mul(int a[],int b[])

{

    ntt(a,1);

    ntt(b,1);

    for(int i=0;i<N;i++)

        a[i]=1LL*a[i]*b[i]%P;

    ntt(a,0);

    for(int i=p;i<N;i++)

        (a[i%p]+=a[i])%=P,a[i]=0;

}

void solve(int x)

{

    if(x==1)

        return;

    if(x&1)

    {

        solve(x-1);

        memcpy(h,f,sizeof(h));

        for(int i=0;i<p;i++)

            f[i]=(1LL*h[i]+h[(i+p-1)%p]+h[(i+1)%p])%P;

    }

    else

    {

        solve(x>>1);

        memcpy(h,f,sizeof(h));

        mul(f,h);

    }

}

int main()

{

    n=read(),m=read(),k=read(),l=read();

    p=2*m+2;

    for(int i=0;i<N;i++)

        rr[i]=rr[i>>1]>>1|(i&1)*(N/2);

    for(int i=1;i<=k;i++)

        a=read(),g[a]++,(g[2*m-a+2]+=P-1)%=P;

    if(n^1)

    {

        f[0]=f[p-1]=f[1]=1;

        solve(n-1);

        mul(g,f);

    }

    for(int i=1;i<=l;i++)

        (ans+=g[read()])%=P;

    printf("%d",ans);

}