Mertens

题意：

求解$\sum_{i=a}^b{\mu(i)}$。

解法：

由$(\mu * I)(n) = e(n)$ 得 $\sum_{d|n}{\mu(d)} = [n=1]$ 得 $\mu(n) = \sum_{d|n,d<n}{\mu(d)}$

从而有$$\sum_{i=1}^n{\mu(i)} = 1 - \sum_{i=1}^n{ \sum_{d|i,d<i}{\mu(d)} }$$

　　　　$$=1-\sum_{t=2}^n{ \sum_{d=1}^{[\frac{n}{t}]}{\mu(d)} }$$

记$S(n) = \sum_{i=1}^n{\mu(i)}$

从而有$S(n) = 1- \sum_{t=2}^n{S([\frac{n}{t}])}$

考虑分块优化此式，产生$O(\sqrt n)$的时间复杂度，当n小于等于$n^{0.6667}$时直接应用线性筛计算。

分析得会产生$O(n^{0.667})$个n，从而应用map，递归计算即可。

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <ctime>
 #include <map>

 #define LL long long
 #define LIM 5000000

 using namespace std;

 int tot,prime[LIM+];
 LL u[LIM+];
 bool v[LIM+];
 map<LL,LL> ansv;

 LL S(LL n)
 {
     if(n<=LIM) return u[n];
     if(ansv.count(n)) return ansv[n];
     LL j;
     LL ans=;
     for(LL i=;i<=n;i=j+)
     {
         j=n/(n/i);
         ans -= (j-i+1LL) * S(n/i);
     }
     ansv[n]=ans;
     return ans;
 }

 int main()
 {
 //    freopen("test.txt","r",stdin);
     u[]=;
     for(int i=;i<=LIM;i++)
     {
         if(!v[i])
         {
             prime[++tot]=i;
             u[i]=-;
         }
         for(int j=;i*prime[j]<=LIM;j++)
         {
             v[i*prime[j]]=;
             u[i*prime[j]]=u[i]*u[prime[j]];
             if(i%prime[j]==)
             {
                 u[i*prime[j]]=;
                 break;
             }
         }
     }
     for(int i=;i<=LIM;i++) u[i]+=u[i-];
     LL a,b;
     cin >> a >> b;
     cout << S(b)-S(a-) << endl;
     return ;
 }

同样的方法，由$(\phi * I)(n) = id(n)$得到

$S(n) = \frac{n(n+1)}{2} - \sum_{t=2}^n{S([\frac{n}{t}])}$

注意n*(n+1)可能炸long long。

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <ctime>
 #include <map>
 #include <cassert>

 #define LL long long
 #define LIM 5000000
 #define P 1000000007LL

 using namespace std;

 int tot,prime[LIM+];
 LL phi[LIM+],inv2;
 bool v[LIM+];
 map<LL,LL> ansv;

 LL S(LL n)
 {
     if(n<=LIM) return phi[n];
     if(ansv.count(n)) return ansv[n];
     LL j;
     LL ans=n%P * (n%P + 1LL) %P * inv2%P;
     assert(ans >=);
     for(LL i=;i<=n;i=j+)
     {
         j=n/(n/i);
         ans += P - ((j-i+1LL) * S(n/i)%P);
         if(ans>=P) ans -= P;
     }
     ansv[n]=ans;
     return ans;
 }

 LL qpow(LL x,int n)
 {
     LL ans=;
     for(;n;n>>=,x=x*x%P) if(n&) ans=ans*x%P;
     return ans;
 }

 int main()
 {
 //    freopen("test.txt","r",stdin);
     phi[]=;
     for(int i=;i<=LIM;i++)
     {
         if(!v[i])
         {
             prime[++tot]=i;
             phi[i]=i-;
         }
         for(int j=;i*prime[j]<=LIM;j++)
         {
             v[i*prime[j]]=;
             phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
             if(i%prime[j]==)
             {
                 phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                 break;
             }
         }
     }
     inv2=qpow(,P-);
     for(int i=;i<=LIM;i++)
     {
         phi[i]=phi[i]+phi[i-];
         if(phi[i]>=P) phi[i] -= P;
     }
     LL n;
     cin >> n;
     cout << S(n) << endl;
     return ;
 }