[SDOI2016][bzoj4514] 数字配对 [费用流]

题面

传送门

思路

一个数字能且只能匹配一次

这引导我们思考：一次代表什么？代表用到一定上限（b数组）就不能再用，同时每用一次会产生价值（c数组）

上限？价值？网络流！

把一次匹配设为一点流量，那产生的价值不就是费用了吗？

我们考虑把一种数字抽象成一个点，可以匹配的数字之间连边，费用为c[i]*c[j]，流量上限为.....

等等，流量上限怎么设？

而且还有一个问题：这里的匹配是双向的，虽然可以$O\left(n^2\right)$求出所有匹配对，但是网络流要求是单向边啊！

别急，我们先来分析一下两个满足匹配条件的数，有什么性质

设$i=p\ast j$，其中p是一个质数

那我们考虑$i$和$j$的质因数分解，会发现：它们俩分解出的质因数个数之间正好差一！

这说明了什么？

这说明匹配只有可能在质因数个数奇偶性不同的数对之间存在，而如果根据质因数个数的奇偶性把数分成两组，那么所有边都在两组之间！

这是什么？二分图啊！

那么我们就可轻易把每条边定向成从奇数侧到偶数侧了！

接下来的事就简单了：我们建立超级源S和超级汇T，从S连边到所有质因数个数为奇数的点i，费用为0，容量为b[i]，质因数个数为偶数的点连到T，类似

这样，我们也一同限制了每个点最多流出去不超过b[i]的流量，也就是不发生超过b[i]次和这个数字有关的匹配

因此对于原图中的可行匹配，只要连边，费用为c[i]*c[j]，流量上限inf

跑最大费用最大流......等等好像不行？这道题是要求费用非负时的最大流量啊......

别急，我们来贪心一波

我们每次在图中做一个spfa，找到费用最大（最长）的增广路，设它的总长度（费用）为maxn，同时设当前总费用为ans

如果maxn<-ans，那么即使加上1的流量，总费用也负数了，这个时候结束循环，输出总流量flow即可

否则，如果maxn>0，那么非常高兴，我们随便加，流量越多越好

如果maxn<0，那么也没有问题，我们只要令流的流量为$min(limit,ans/(-maxn))$，其中limit为当前增广路的流量上限

这样一直循环，直到因为上面的原因跳出，或者图不连通了为止，输出总流量flow，就是最大匹配数了

贪心的证明很显然，我们每次都是取最优走，而且后面的决策肯定没有我优，就证完了

Code:

写的时候注意细节啊......这题细节贼多，一不小心就除0或者mod0了，而且实现分解质因数的时候注意，如果一个数x到了sqrt(x)都还没有一个质因数，那么它肯定是个质数

因此我们只要筛1e5的素数就够了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cassert>
#define inf 1e15
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read(){
    ll re=0,flag=1;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0'){
        if(ch=='-') flag=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return re*flag;
}
ll cnt=-1,ans,flow,first[210],dis[210],vis[210],limit[210],pre[210];
struct edge{
    ll to,next,w,cap;
}a[100010];
inline void add(ll u,ll v,ll w,ll cap){
    a[++cnt]=(edge){v,first[u],w,cap};first[u]=cnt;
    a[++cnt]=(edge){u,first[v],-w,0};first[v]=cnt;
}
bool spfa(ll s,ll t){
    ll q[5010]={0},head=0,tail=1,u,v,w,i;
    for(i=s;i<=t;i++) dis[i]=-inf;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(pre,-1,sizeof(pre));memset(limit,0,sizeof(limit));
    q[0]=s;vis[s]=1;dis[s]=0;limit[s]=inf;
    while(head<tail){
        u=q[head++];vis[u]=0;
        for(i=first[u];~i;i=a[i].next){
            v=a[i].to;w=a[i].w;
            if(a[i].cap&&(dis[v]<dis[u]+w)){//注意是最长路
                dis[v]=dis[u]+w;
                limit[v]=min(limit[u],a[i].cap);
                pre[v]=i;
                if(!vis[v]) q[tail++]=v,vis[v]=1;
            }
        }
    }
    return dis[t]!=-inf;
}
ll n,A[210],B[210],C[210],col[210];
ll tot=0,pri[100010],v[100010]={0};
void init(){//线筛
    ll i,j,k;v[1]=1;
    for(i=2;i<=100000;i++){
        if(!v[i]) pri[++tot]=i;
        for(j=1;j<=tot;j++){
            k=i*pri[j];if(k>100000) break;
            v[k]=1;
            if((i%pri[j])==0) break;
        }
    }
}
ll cntprime(ll x){
    ll re=0,c=1;
    while(x>1&&c<=tot){
        while((x%pri[c])==0) x/=pri[c],re++;
        c++;
    }
    if((c==tot+1)&&(x>1)) return 1;//处理特殊情况
    return re;
}
int main(){
    memset(first,-1,sizeof(first));
    ll i,j;init();
    n=read();
    for(i=1;i<=n;i++) A[i]=read(),col[i]=cntprime(A[i]);
    for(i=1;i<=n;i++){
        B[i]=read();
        if(col[i]%2) add(0,i,0,B[i]);
        else add(i,n+1,0,B[i]);
    }
    for(i=1;i<=n;i++) C[i]=read();
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=i+1;j<=n;j++){
            if((((A[i]%A[j])==0)&&(col[i]==col[j]+1))||(((A[j]%A[i])==0)&&(col[j]==col[i]+1))){
                if(col[i]%2) add(i,j,C[i]*C[j],inf);
                else add(j,i,C[i]*C[j],inf);
            }
        }
    }
    ll tmp,u;
    while(1){
        if(!spfa(0,n+1)) break;
        if(dis[n+1]+ans<0) break;
        if(dis[n+1]>=0) tmp=limit[n+1];//注意这里>=不要写成>......我被这个坑了1h啊啊啊啊
        else tmp=min(limit[n+1],ans/(-dis[n+1]));
        ans+=dis[n+1]*tmp;flow+=tmp;
        for(u=n+1;~pre[u];u=a[pre[u]^1].to){
            a[pre[u]].cap-=tmp;a[pre[u]^1].cap+=tmp;
        }
    }
    printf("%lld\n",flow);
}