【Luogu】P3768简单的数学题（杜教筛）

　　题目链接

　　emm标题全称应该叫“莫比乌斯反演求出可狄利克雷卷积的公式然后卷积之后搞杜教筛”

　　然后成功地困扰了我两天qwq

　　我们从最基本的题意开始，一步步往下推

　　首先题面给出的公式是$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}ijgcd(i,j)$

　　枚举gcd(i,j)=w，得到

　　$\sum\limits_{w=1}^{n}w\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}ij[w=gcd(i,j)]$

　　这时候我们设一个$f(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}ij[x=gcd(i,j)]$

　　一个$F(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}ij[x|gcd(i,j)]$

　　容易发现（其实就是为了凑莫比乌斯公式才搞的这两个函数，在构造函数之前就“容易发现”了）

　　$F(x)=\sum\limits_{x|d}f(d)$

　　怎么样……像莫比乌斯反演公式吧

　　$f(d)=\sum\limits_{d|x}\mu(\frac{x}{d})F(x)$

　　然后原式就变成了

　　$\sum\limits_{w=1}^{n}w\sum\limits_{w|t}\mu(\frac{t}{w})F(t)$

　　据说莫比乌斯反演构造的F(x)一定要简单易求

　　然后……自己找几组规律可以发现$F(x)=(x+2x+3x+......+\frac{n}{x}x)^2$

　　然后……继续找规律发现一个问题，就是你可以把x提出来。qwq。

　　于是F(x)成功的变成了$x^2(1+2+3+......+\frac{n}{x})^2$

　　然后我们回头去找扔掉的原式qwq

　　原式=$\sum\limits_{w=1}^{n}w\sum\limits_{w|t}\mu(\frac{t}{w})F(t)$

　　$=\sum\limits_{w=1}^{n}w^3\sum\limits_{w|t}\mu(\frac{t}{w})\frac{t}{w}^2(1+.......+\frac{n}{t})^2$

　　emm我们似乎发现了什么……

　　于是就设$d=\frac{t}{w}$

　　然后把原式就整理成了

　　$\sum\limits_{w=1}^{n}w^3\sum\limits_{d=1}^{\frac{n}{w}}\mu(d)d^2(1+.......+\frac{n}{wd})^2$

　　到此为止就有60分啦。不需要杜教筛狄利克雷卷积什么乱七八糟的玩意。

　　（然后剩下40分花掉了我一天+22个半小时）

　　然后我自己差不多就想到这里为止了。剩下的是rqy的脑补。

　　看到这里面一大堆下取整的玩意我们rqy非常不爽。

　　然后他先把公式颠倒了一下

　　$\sum\limits_{d=1}^{n}\mu(d)d^2\sum\limits_{w=1}^{\frac{n}{d}}w^3(1+......+\frac{n}{wd})^2$

　　又令k=wd

　　然后改成枚举k

　　式子就变成了$\sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{d|k}\mu(\frac{k}{d})(\frac{k}{d})^2d^3(1+....+\frac{n}{k})^2$

　　=$\sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{d|k}\mu(\frac{k}{d})k^2d(1+....+\frac{n}{k})^2$

　　发现有两项$k^2$,$(1+....+\frac{n}{k})^2$跟d没什么卵关系

　　提出来提出来

　　$\sum\limits_{k=1}^{n}k^2(1+....+\frac{n}{k})^2\sum\limits_{d|k}\mu(\frac{k}{d})d$

　　好，恭喜你$\sum\limits_{d|k}\mu(\frac{k}{d})d=\phi(k)$

　　为什么呢？因为根据狄利克雷卷积公式$\mu*1=e$

　　$\phi*1=n$

　　所以$n*\mu=\phi*1*\mu=\phi*e=\phi$

　　然后你列一列这个卷积公式。

　　惊不惊喜？意不意外？

　　然后原式变成了$\sum\limits_{k=1}^{n}k^2(1+....+\frac{n}{k})^2\phi(k)$

　　然后一看到$\frac{n}{k}$有根号n种，非常激动，

　　然后现在的问题就变成了怎么快速求$k^2\phi(k)$的前缀和

　　然后发现这个玩意用杜教筛好像很可做的样子

　　码了码了

　　

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<map>
#define maxn 4000100
using namespace std;

map<long long,long long>_sum;
long long sum[maxn];
long long phi[maxn];
long long prime[maxn],tot;
bool vis[maxn];
long long mod;
long long mod6;

long long Pow(long long n,long long i,long long p){
    long long ret=;
    while(i){
        if(i&)    ret=(ret*n)%p;
        n=(n*n)%p;
        i>>=;
    }
    return ret;
}

inline long long calc(long long n,long long p){
    n%=p;
    long long ans=((+n)*n%p)*mod%p;
    ans=(ans*ans)%p;
    return ans;
}

inline long long calcs(long long n,long long p){
    n%=p;
    long long ans=(n*(n+)%p)*(*n+)%p;
    ans=ans*mod6%p;
    return ans;
}

long long calcsum(long long n,long long p){
    if(n<maxn)    return sum[n];
    if(_sum.count(n))    return _sum[n];
    long long x=,ans=calc(n,p);
    while(x<=n){
        long long y=n/(n/x);
        ans=((ans-((calcs(y,p)-calcs(x-,p)+p)%p)*calcsum(n/x,p)%p)+p)%p;
        x=y+;
    }
    return _sum[n]=ans;
}

int main(){
    long long p,n;
    scanf("%lld%lld",&p,&n);
    mod=Pow(,p-,p);
    mod6=Pow(,p-,p);
    vis[]=sum[]=;
    for(register long long i=;i<maxn;++i){
        if(!vis[i]){
            prime[++tot]=i;
            phi[i]=i-;
            sum[i]=((1LL*i*i)%p*phi[i])%p;
        }
        for(long long j=;j<=tot&&i*prime[j]<maxn;++j){
            vis[i*prime[j]]=;long long now=i*prime[j];
            if(i%prime[j]){
                phi[now]=(phi[i]*(prime[j]-))%p;
                sum[now]=(phi[now]*now)%p*now%p;
            }
            else{
                phi[now]=(phi[i]*prime[j])%p;
                sum[now]=(phi[now]*now)%p*now%p;
                break;
            }
        }
    }
    for(long long i=;i<maxn;++i)    sum[i]=(sum[i]+sum[i-])%p;
    long long x=,ans=;
    while(x<=n){
        long long y=n/(n/x);
        ans+=((calcsum(y,p)-calcsum(x-,p)+p)%p)*calc(n/x,p)%p;
        ans%=p;
        x=y+;
    }
    printf("%lld",ans);
    return ;
}

　　然后这就是码qwq。