【bzoj4459】[Jsoi2013]丢番图 分解质因数

题目描述

丢番图是亚历山大时期埃及著名的数学家。他是最早研究整数系数不定方程的数学家之一。为了纪念他，这些方程一般被称作丢番图方程。最著名的丢番图方程之一是x^N+y^n=z^N。费马提出，对于N>2，x,y,z没有正整数解。这被称为“费马大定理”，它的证明直到最近才被安德鲁·怀尔斯（AndrewWiles）证明。
考虑如下的丢番图方程：
1/x+1/y=1/n(x,y,n属于N+)                      (1)
小G对下面这个问题十分感兴趣：对于一个给定的正整数n，有多少种本质不同的解满足方程（1）？例如n=4，有三种本质不同(x≤y)的解：
1/5+1/20=1/4
1/6+1/12=1/4
1/8+1/8=1/4
显然，对于更大的n，没有意义去列举所有本质不同的解。你能否帮助小G快速地求出对于给定n，满足方程（1）的本质不同的解的个数？

输入

一行，仅一个整数n（1<=N<=10^14)

输出

一行，输出对于给定整数n，满足方程（1）的本质不同的解的个数。

样例输入

4

样例输出

3

---

题解

分解质因数

$\frac 1x+\frac 1y=\frac 1n\ \iff\ nx+ny=xy\ \iff\ xy-nx-ny+n^2=n^2\ \iff\ (x-n)(y-n)=n^2$。

于是求$n^2$的约数个数即可。根据约数个数公式，可以把n分解质因数，质因子的幂次*2即为$n^2$中的幂次，再+1乘起来即可得到$n^2$的约数个数。

而题目中要求本质不同，所以$\frac{约数个数}2$算了两次，应该减掉。即可得到答案。

时间复杂度$O(\sqrt n)$。

#include <cstdio>
typedef long long ll;
int main()
{
	ll n , i , sum = 1 , cnt;
	scanf("%lld" , &n);
	for(i = 2 ; i * i <= n ; i ++ )
	{
		if(n % i == 0)
		{
			cnt = 0;
			while(n % i == 0) n /= i , cnt ++ ;
			sum *= 2 * cnt + 1;
		}
	}
	if(n != 1) sum *= 3;
	printf("%lld\n" , (sum + 1) >> 1);
	return 0;
}