关于gcd

内容：

\(gcd(a,b)=gcd(b,a\% b)\)

用途：

这不废话嘛，当然是用来求最大公约数啊

证明：(这还是四月份的时候cdx巨佬给我讲的qwq)

设\(d=gcd(a.b)\)

则有\(a=md,b=nd\), \(\Rightarrow\) \(a-b=(m-n)d\)

\(\because\) \(m\)与\(n\)互质

\(\therefore\) \((m-n)\)与\(n\)互质

\(\therefore\) \(gcd((m-n)d,nd)=d\)即\(gcd(a-b,b)=d\)

\(\therefore\) \(gcd(a,b)=gcd(a-b,b)\)

\(\therefore\) \(gcd(a,b)=gcd(a\%b,b)\)

关于为什么\(m-n\)与\(n\)互质：

证明：假设\(m-n\)不与\(n\)互质，有\(gcd(m-n,n)=p,p\neq 1\)

则\(m-n=xp,n=yp\)

\(\therefore\) \(m=(x+y)p\)

\(\therefore\) \(a=md=(x+y)pd,b=nd=ypd\)

\(\therefore\) \(a,b\)有公约数\(pd\)

$\because $ \(gcd(a,b)=d\)

\(\therefore\) \(p=1\)与假设矛盾

故\(m-n\)与\(n\)互质

Code：

int gcd(int x, int y) {
	return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
}

谢谢收看，祝身体健康！