LOJ6686 Stupid GCD（数论，欧拉函数，杜教筛）

做题重心转移到 LOJ 了。

至于为什么，如果你知道“……”的密码，就去看吧。

LOJ 上用户自创题大多数都不可做，今天看到个可做题（而且还是个水题），就来做了一发。

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明显枚举立方根。（以下令 $m=\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor$）

$$\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=i^3}^{\min(n,(i+1)^3-1)}\gcd(i,j)$$

由于 $i=m$ 比较特殊，我们把它拎出来：（其实就是把 $\min$ 拆开）

$$\sum\limits_{i=1}^{m-1}\sum\limits_{j=i^3}^{(i+1)^3-1}\gcd(i,j)+\sum_{j=m^3}^n\gcd(m,j)$$

现在考虑 $\sum\limits_{i=1}^n\gcd(x,i)$ 怎么求。

$$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{d|(x,i)}\varphi(d)$$

$$\sum\limits_{d|x}\varphi(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor$$

那么套回去：

$$\sum\limits_{i=1}^{m-1}\sum\limits_{d|i}\varphi(d)(\lfloor\frac{(i+1)^3-1}{d}\rfloor-\lfloor\frac{i^3-1}{d}\rfloor)+\sum\limits_{d|m}\varphi(d)(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor-\lfloor\frac{m^3-1}{d}\rfloor)$$

后面那部分可以直接枚举因数，暴力求欧拉函数。我这里预处理了前 $10^7\approx m^{\frac{2}{3}}$ 个欧拉函数，时间复杂度是远远小于 $O(m^{\frac{2}{3}})$ 的。

接下来继续推前面的：

$$\sum\limits_{i=1}^{m-1}\sum\limits_{d|i}\varphi(d)(\lfloor\frac{(i+1)^3-1}{d}\rfloor-\lfloor\frac{i^3-1}{d}\rfloor)$$

$$\sum\limits_{d=1}^{m-1}\varphi(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{m-1}{d}\rfloor}(\lfloor\frac{(id+1)^3-1}{d}\rfloor-\lfloor\frac{(id)^3-1}{d}\rfloor)$$

$$\sum\limits_{d=1}^{m-1}\varphi(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{m-1}{d}\rfloor}(\lfloor\frac{(id)^3+3(id)^2+3(id)}{d}\rfloor-\lfloor\frac{(id)^3-1}{d}\rfloor)$$

$$\sum\limits_{d=1}^{m-1}\varphi(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{m-1}{d}\rfloor}((i^3d^2+3i^2d+3i)-(\lfloor i^3d^2-\frac{1}{d}\rfloor))$$

$$\sum\limits_{d=1}^{m-1}\varphi(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{m-1}{d}\rfloor}((i^3d^2+3i^2d+3i)-(i^3d^2-1))$$

$$\sum\limits_{d=1}^{m-1}\varphi(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{m-1}{d}\rfloor}(3i^2d+3i+1)$$

$$\sum\limits_{d=1}^{m-1}d\varphi(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{m-1}{d}\rfloor}3i^2+\sum\limits_{d=1}^{m-1}\varphi(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{m-1}{d}\rfloor}(3i+1)$$

分块杜教筛即可。

时间复杂度：由于每次分块杜教筛都跑得过 $10^{10}$，我就姑且当它是 $O(m^{\frac{2}{3}})$ 的。所以时间复杂度 $O(n^{\frac{2}{9}})$。

upd: 已经会证复杂度是 $O(m^{\frac{2}{3}})$ 了。如果用 map 是可以做到这个复杂度（忽略那个 $\log$ 啦），但如果用其他什么奇怪的记忆化方法复杂度可能退化到 $O(m^{\frac{5}{6}})$。

代码很丑。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef __int128 lll;
const int maxn=,mod=,inv6=;
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline lll read(){
    char ch=getchar();lll x=,f=;
    while(ch<'' || ch>'') f|=ch=='-',ch=getchar();
    while(ch>='' && ch<='') x=x*+ch-'',ch=getchar();
    return f?-x:x;
}
lll n,nn;
int pr[maxn],pl,phi[maxn],pre1[maxn],pre2[maxn],ans;
bool vis[maxn];
map<ll,int> p1,p2;
ll cb,cb1;
void init(int upr){
    phi[]=;
    FOR(i,,upr){
        if(!vis[i]) phi[pr[++pl]=i]=i-;
        FOR(j,,pl){
            if(i*pr[j]>upr) break;
            vis[i*pr[j]]=true;
            if(i%pr[j]) phi[i*pr[j]]=phi[i]*(pr[j]-);
            else{
                phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];break;
            }
        }
    }
    pre1[]=pre2[]=;
    FOR(i,,upr){
        pre1[i]=(pre1[i-]+phi[i])%mod;
        pre2[i]=(pre2[i-]+1ll*phi[i]*i)%mod;
    }
}
int s1(ll n){
    int nn=n%mod;
    return 1ll*nn*(nn+)/%mod;
}
int s1(ll l,ll r){return (s1(r)-s1(l-)+mod)%mod;}
int s2(ll n){
    int nn=n%mod;
    return 1ll*nn*(nn+)%mod*(*nn+)%mod*inv6%mod;
}
int s2(ll l,ll r){return (s2(r)-s2(l-)+mod)%mod;}
int S1(ll n){
    if(n<=) return pre1[n];
    if(p1.count(n)) return p1[n];
    int nn=n%mod,s=1ll*nn*(nn+)/%mod;
    for(ll l=,r;l<=n;l=r+){
        r=n/(n/l);
        s=(s-1ll*(r-l+)%mod*S1(n/l)%mod+mod)%mod;
    }
    return p1[n]=s;
}
int S2(ll n){
    if(n<=) return pre2[n];
    if(p2.count(n)) return p2[n];
    int nn=n%mod,s=1ll*nn*(nn+)%mod*(*nn+)%mod*inv6%mod;
    for(ll l=,r;l<=n;l=r+){
        r=n/(n/l);
        s=(s-1ll*s1(l,r)*S2(n/l)%mod+mod)%mod;
    }
    return p2[n]=s;
}
int calc_phi(ll n){
    if(n<=) return phi[n];
    ll s=n;
    for(ll i=;i*i<=n;i++) if(n%i==){
        s=s/i*(i-);
        while(n%i==) n/=i;
    }
    if(n>) s=s/n*(n-);
    return s%mod;
}
int calc(ll x){
    int s=;
    for(ll i=;i*i<=x;i++) if(x%i==){
        s=(s+1ll*calc_phi(i)*((n/i)%mod-(nn/i)%mod+mod)%mod)%mod;
        if(i*i!=x) s=(s+1ll*calc_phi(x/i)*((n/(x/i))%mod-(nn/(x/i))%mod+mod)%mod)%mod;
    }
    return s;
}
int main(){
    n=read();
    cb=pow(n,1.0/);cb1=cb-;
    nn=(lll)cb*cb*cb-;
    init(min(cb,10000000ll));
    for(ll l=,r;l<=cb1;l=r+){
        r=cb1/(cb1/l);
        ans=(ans+3ll*s2(,cb1/l)*(S2(r)-S2(l-)+mod)%mod+(3ll*s1(,cb1/l)+cb1/l)%mod*(S1(r)-S1(l-)+mod)%mod)%mod;
    }
    printf("%d\n",(ans+calc(cb))%mod);
}

upd：

被出题人针对着卡，结果真卡掉了……

其实是开立方根出精度问题了，改一改就好了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef __int128 lll;
const int maxn=,mod=,inv6=;
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline lll read(){
    char ch=getchar();lll x=,f=;
    while(ch<'' || ch>'') f|=ch=='-',ch=getchar();
    while(ch>='' && ch<='') x=x*+ch-'',ch=getchar();
    return f?-x:x;
}
lll n,nn;
int pr[maxn],pl,phi[maxn],pre1[maxn],pre2[maxn],ans;
bool vis[maxn];
map<ll,int> p1,p2;
ll cb,cb1;
void init(int upr){
    phi[]=;
    FOR(i,,upr){
        if(!vis[i]) phi[pr[++pl]=i]=i-;
        FOR(j,,pl){
            if(i*pr[j]>upr) break;
            vis[i*pr[j]]=true;
            if(i%pr[j]) phi[i*pr[j]]=phi[i]*(pr[j]-);
            else{
                phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];break;
            }
        }
    }
    pre1[]=pre2[]=;
    FOR(i,,upr){
        pre1[i]=(pre1[i-]+phi[i])%mod;
        pre2[i]=(pre2[i-]+1ll*phi[i]*i)%mod;
    }
}
int s1(ll n){
    int nn=n%mod;
    return 1ll*nn*(nn+)/%mod;
}
int s1(ll l,ll r){return (s1(r)-s1(l-)+mod)%mod;}
int s2(ll n){
    int nn=n%mod;
    return 1ll*nn*(nn+)%mod*(*nn+)%mod*inv6%mod;
}
int s2(ll l,ll r){return (s2(r)-s2(l-)+mod)%mod;}
int S1(ll n){
    if(n<=) return pre1[n];
    if(p1.count(n)) return p1[n];
    int nn=n%mod,s=1ll*nn*(nn+)/%mod;
    for(ll l=,r;l<=n;l=r+){
        r=n/(n/l);
        s=(s-1ll*(r-l+)%mod*S1(n/l)%mod+mod)%mod;
    }
    return p1[n]=s;
}
int S2(ll n){
    if(n<=) return pre2[n];
    if(p2.count(n)) return p2[n];
    int nn=n%mod,s=1ll*nn*(nn+)%mod*(*nn+)%mod*inv6%mod;
    for(ll l=,r;l<=n;l=r+){
        r=n/(n/l);
        s=(s-1ll*s1(l,r)*S2(n/l)%mod+mod)%mod;
    }
    return p2[n]=s;
}
int calc_phi(ll n){
    if(n<=) return phi[n];
    ll s=n;
    for(ll i=;i*i<=n;i++) if(n%i==){
        s=s/i*(i-);
        while(n%i==) n/=i;
    }
    if(n>) s=s/n*(n-);
    return s%mod;
}
int calc(ll x){
    int s=;
    for(ll i=;i*i<=x;i++) if(x%i==){
        s=(s+1ll*calc_phi(i)*((n/i)%mod-(nn/i)%mod+mod)%mod)%mod;
        if(i*i!=x) s=(s+1ll*calc_phi(x/i)*((n/(x/i))%mod-(nn/(x/i))%mod+mod)%mod)%mod;
    }
    return s;
}
int main(){
    n=read();
    cb=pow(n,1.0/);
    while((lll)cb*cb*cb<=n) cb++;
    while((lll)cb*cb*cb>n) cb--;
    cb1=cb-;
    nn=(lll)cb*cb*cb-;
    init(min(cb,10000000ll));
    for(ll l=,r;l<=cb1;l=r+){
        r=cb1/(cb1/l);
        ans=(ans+3ll*s2(,cb1/l)*(S2(r)-S2(l-)+mod)%mod+(3ll*s1(,cb1/l)+cb1/l)%mod*(S1(r)-S1(l-)+mod)%mod)%mod;
    }
    printf("%d\n",(ans+calc(cb))%mod);
}