ZROI 暑期高端峰会 A班 Day4 树上数据结构

FBI Warning：本文含有大量人类的本质之一。

你经历过绝望吗？

[ZJOI2007]捉迷藏

询问树上最远黑点对。

动态边分治可以比点分治少一个 $\log$。

bzoj3730

咕了。

[ZJOI2015]幻想乡战略游戏

动态维护一棵树的带权重心。每个点度数 $\le 20$。

暴力：从根往最重的跳，能跳就跳。

动态点分治加速即可。

边分治？链分治？

边分治和点分治很像，找一条边使得剩下部分尽量平衡。

不过直接这样会被菊花图卡掉。

然后就要……用某些方法变成二叉树。

咕了。这么重要的东西，肯定回来补的。

[Ynoi2012]D1T3

~~开幕雷击~~

每次查询时，考虑在点分树上找到深度最浅的点，满足这个点被保留区间点 $x$ 所在连通块包含。暴力跳即可。

那么把根固定下来统计。具体就是问子树中对于点满足它到根的路径上有 $\min\ge l,\max\le r$，不同的颜色数有多少。

询问离线按根分类，对每个根按 $l$ 排序，CDQ 分治即可。

floj 307 不可知圆环/CF1010F

一棵树，可以随意删边，问使得 $1$ 所在连通块大小为 $k$ 的方案数。

明显可以 DP。$f_{x,i}$ 表示 $x$ 的子树，删到 $x$ 所在连通块恰好为 $i$ 方案数。

写成生成函数的形式：$F_u(x)=x\prod(F_v(x)+1)$。

树链剖分。对于每条重链：

$F_u(x)$ 表示考虑重儿子的生成函数，$A_u(x)$ 表示不考虑重儿子的生成函数再乘上 $x$。

对于重链底端，$F_u(x)=A_u(x)$。否则 $F_u(x)=A_u(x)(F_v(x)+1)$。

对于一条重链分治求。对于两条重链之间暴力。复杂度应该是三个 $\log$。

[Ynoi2012]D2T3

对于度数小于等于根号的点，暴力。

对于度数大于根号的点，点数不会太多。

这种做法是根号的。

套路：对每个点，只维护轻儿子。修改时只有轻边的父亲需要动态维护。

由于轻边只有 $\log$ 条，复杂度就是两个 $\log$。

又是链分治

咕了。

百度必应边分治和链分治去了……

UOJ191

发现明显是个上凸包。

然后把操作看成是操作树，末尾加一个元素看作走向一个儿子，末尾删除一个儿子看作回溯。

就是问一条路径的上凸包中，某个点处的值。

然后就是询问一条链上的上凸包。可以启发式合并。（不知道能不能李超线段树……）

复杂度应该是两个 $\log$。

？？？

$n$ 个点的树，$q$ 次操作，修改单点点权或者询问最大权值连通块。

动态 DP。就是子树内包含/不包含根的。没了。

？？？

一棵树，每个点可以用 $a_u$ 代价选中子树中所有叶子。每次单点修改 $a$，询问选中所有叶子的最小代价。

DP。$f_u$ 表示……

动态 DP 套路，重链剖分。没了。

LCT

~~太棒了终于有会的了~~

动态DP

~~太棒了终于又有会的了~~

注意的是也可以用 LCT 维护。神奇的是，这里 LCT 跑得更快。

？？？

$n$ 个人（$0$ 到 $n-1$），第 $i$ 个人手上有个 $a_i$

最开始有个数 $x=0$。从 $0$ 到 $n-1$，每个人可以选择是否变成 $(x+a_i)\bmod n$

游戏结束后第 $x$ 个人获胜

每个人采取如下策略：只有当变了 $x$ 能必胜，且不变不必胜的情况下，他才会变动 $x$。

$q$ 次操作，每次修改 $a_i$，询问谁获胜。

$n,q\le 10^5$

首先肯定只会最多一个人动手。因为如果两个人动手，前面那个人就没有必胜了，矛盾。

而且动了手后 $x$ 一定会变成 $i$。

$i$ 朝 $(i-a_i)\bmod n$ 连边。当 $(i-a_i)\bmod n\ge i$ 时毫无意义，因为 $x$ 一定是移动后能必胜才变的，所以对于前 $i$ 个人不可能变出 $\ge i$ 的数。

这形成了一个森林（大点往小点连边）。

只考虑有 $0$ 的那棵树。

$f_x$ 表示如果从 $0$ 一路变到 $fa_x$，$x$ 是否会选择把它变成 $x$。

然后就是个开枪游戏（？），LCT 维护动态 DP 即可。

Codechef Pushflow

$n$ 个点的图，每个点最多属于一个简单环（点仙人掌？），边有边权。

$m$ 次操作，询问两点之间最大流，或者修改一个边权。

$n,m\le 10^5$

最大流就是最小割。

最小割要么是切环上两条边，要么是切一条树边。

对于环边，肯定有一条是最小边，那么把它删掉，并把它的边权加到这个环上其它边的边权上。

那么此时剩下的肯定是一棵树，就是求链上最小值了。

修改边权，如果是树边，直接搞；如果是环边，就需要更新最小值和树形态了。

用 LCT 可以做到 $O(m\log n)$。（大常数……）

WineDAG's Prevention

$n$ 个点的树 $q$ 次操作，单点修改点权，翻转路径上点权，询问路径和、最大值、最小值。

$n,q\le 10^5$

考虑 LCT。对每一块用一棵 Splay 维护形态，另一棵权值 Splay 维护权值，次序一一对应。

复杂度 $O(q\log n)$。

CF1137F

给一棵树，每个点有一个优先级，初始为自己的标号。……

先把最大标号作为根。

考虑 $x$ 和 $y$ 哪个先被删。

如果 $x$ 是 $y$ 的祖先，明显 $y$ 先被删。

否则就比较子树最大值，小的那个先被删。

由于每次会把一个点改成最大值+1，考虑 LCT 维护 access 连续段，等价于换根，并且整体修改到原来跟上一段路径的子树最大值。

然后就是查询全局排名。

？？？

三部分点 A,B,C，各有 $n_1,n_2,n_3$ 个点。

其中 AB 构成一棵树，AC 构成一棵树，A 之间的点没有连边。

随机 $i,j$ 把 $B_1$ 到 $B_i$，$C_1$ 到 $C_j$ 删了，问 $A$ 仍然联通的概率。

$n_i\le 10^5$

发现 $i$ 递增的时候，使得 $A$ 联通的 $j$ 递减。

动态维护连通性即可。（然而这玩意我还没打过……）