可持久化0-1Trie树

我跟可持久化数据结构杠上了 \(QwQ\) 。三天模拟赛考了两次可持久化数据结构（主席树、可持久化0-1Trie树），woc。

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目录：

• 个人理解
• 时空复杂度分析
• 例题及简析

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一、个人理解

可持久化0-1Trie树，是一种可以快速查询区间异或信息的高级数据结构。

它的主要思想和主席树相同，即保存每次插入操作的历史版本，来快速查询区间的异或信息。

0-1Trie树和平常写的strTrie树相同，都是维护前缀信息的数据结构。不同点只有一个，就是0-1Trie树是维护一个0-1串。可持久化0-1Trie树运用了贪心的思想，即将序列里的 \(X\) 按二进制为拆分，若当前 \(X_i\) （指 \(X\) 二进制拆分后的第 \(i\) 位）是1，我们就往0-1Trie树的0边走；反之就往0-1Trie树的1边走。

可持久化0-1Trie树与主席树相同，也需要动态开点。

注意：维护区间异或信息的不止可持久化0-1Trie树一种，还有线性基等。

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二、时空复杂度分析：

1. 时间复杂度：

   与普通0-1Trie树相同：\(O(n\log n)\) 。

   注：strTrie树的时间复杂度是 \(O(n)\) ，是一种典型的以时间换空间的算法。

2. 空间复杂度：
   
   与普通的0-1Trie树相同：\(O(\min\{n\log |f(a_i)|,|f(a_i)|\})\) ( \(|f(a_i)|\) 为值域)。注意常数为 \(2^5\) （1<<5）。

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三、例题及简析

1. P4735 最大异或和

   Description:

   给定数列 \(\{a_n\}\) ,支持两种操作：

   • 在数列尾添加一个数 \(x\) ，数列长度变成 \(n+1\) ;

   • 给定闭区间 \([l,r]\) 和一个数 \(x\) ，求：

     \[\max_{i=l}^{r}\left \{\left(\bigoplus_{j=i}^{n}a_j \right)\bigoplus x\right \}
     \]

   Method:

   定义 \(Xorsum_i\) 为 \(\bigoplus_{i=1}^{n}a_i\) ,即前缀异或和。我们显然可以得到

   \[\left(\bigoplus_{i=pos}^{n}a_i\right)\bigoplus x=Xorsum_{pos-1}\bigoplus Xorsum_n \bigoplus x
   \]

   注：\(x\bigoplus x=0\) , \(x \bigoplus 0=x\) 。

   我们发现 \(Xorsum_n\bigoplus x\) 是一个定值，我们只需要维护 \(Xorsum_{pos-1}\) 即可。

   考虑用可持久化0-1Trie树维护。与主席树思路相同 ，我们建立 \(n+1\) 个版本的0-1Trie树，查询的时候运用贪心的思路即可。

   可持久化线段树同样支持“前缀和”的思想，我们最后只需要在第 \(r\) 个版本的0-1Trie树上查找 \(l\) 位置即可。

   本题毒瘤卡常，本人人丑常数大，用了fread等各种卡常操作才通过。并且由于luogu评测姬的原因（大雾，已经通过的代码又会T掉woc。卡不过的话，开o2吧。

   Code:

   #include<bits/stdc++.h>
   #define Maxn 600010
   #define Maxdep 23
   #define getchar()(p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
   char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
   inline void read(int &x)
   {
       int f=1;x=0;char s=getchar();
       while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
       while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
       x*=f;
   }
   int n,m;
   int sum[Maxn];
   struct trie
   {
   	trie *chd[2];
   	int symbl;
   	trie()
   	{
   		for(int i=0;i<2;i++) chd[i]=NULL;
   		symbl=0;
   	}
   }*root[Maxn],tree[Maxn<<5],*tail;
   void Init(){tail=tree;}
   void build(trie *&p,int dep)
   {
   	p=new (tail++)trie();
   	if(dep<0) return ;
   	build(p->chd[0],dep-1);
   }
   void update(trie *&p,trie *flag,int dep,int i)
   {
   	p=new (tail++)trie();
   	if(flag) *p=*flag;
   	if(dep<0) return (void)(p->symbl=i);
   	int tmp=(sum[i]>>dep)&1;//判断是1还是0
   	if(!tmp) update(p->chd[0],flag?flag->chd[0]:NULL,dep-1,i);
   	else update(p->chd[1],flag?flag->chd[1]:NULL,dep-1,i);
   	if(p->chd[0]) p->symbl=std::max(p->symbl,p->chd[0]->symbl);
   	if(p->chd[1]) p->symbl=std::max(p->symbl,p->chd[1]->symbl);
   }
   int query(trie *p,int x,int dep,int limit)
   {
   	if(dep<0) return sum[p->symbl]^x;
   	int tmp=(x>>dep)&1;
   	if(p->chd[tmp^1]&&p->chd[tmp^1]->symbl>=limit) return query(p->chd[tmp^1],x,dep-1,limit);
   	return query(p->chd[tmp],x,dep-1,limit);
   }
   signed main()
   {
   	Init();
   	read(n),read(m);
   	build(root[0],Maxdep);
   	for(int i=1,x;i<=n;i++)
   	{
   		read(x);
   		sum[i]=sum[i-1]^x;
   		update(root[i],root[i-1],Maxdep,i);
   	}
   	for(int i=1;i<=m;i++)
   	{
   		char ch=getchar();
   		while(ch!='A'&&ch!='Q') ch=getchar();
   		if(ch=='A')
   		{
   			int x;
   			read(x);
   			n++;
   			sum[n]=sum[n-1]^x;
   			update(root[n],root[n-1],Maxdep,n);
   			continue;
   		}
   		if(ch=='Q')
   		{
   			int l,r,x;
   			read(l),read(r),read(x);
   			int ans=query(root[r-1],sum[n]^x,Maxdep,l-1);
   			printf("%d\n",ans);
   			continue;
   		}
   	}
   	return 0;
   }