USACO4.3 Buy Low, Buy Lower【简单dp·高精度】

如果没有方案数的话，这道题水的不得了，裸的最长下降子序列。

但是它有方案数，所以...

一个是方案数的求法：

设$f[i]$是以$a[i]$结尾的最长下降子序列的长度，可以$n^2$$dp$出答案 如果$a[j]>a[i],1<=j<=i-1$，可以更新$f[i]=max(f[i],f[j]+1)$，这个额老生常谈了

设$s[i]$是以$a[i]$结尾的最长下降子序列的方案数，在更新$f[i]$的时候可以顺便更新$s[i]$：

如果$f[i]==f[j]+1$，那么$s[i]=s[j]$

如果$f[i]==f[j]$，那么$s[i]+=s[j]$

在得到最长下降子序列的长度为$len$之后，把所有$f[i]==len$的$s[i]$全部加起来，就是总的方案数。

但是，由于定义的是$s[i]$是以$a[i]$结尾的最长下降子序列的方案数，最长下降子序列的信息已经丢失，极有可能重复，比如：

3 2 1 3 2 1

后面那$3$个数的$s[]$都应该变为$0$
否则的话$1$，$2$，$3$构成了数列$321$，$1$，$2$，$6$也构成了数列$321$，计算方案数就重复了。

所以在两个位置$f[]$和$s[]$都相等的时候，就把那个位置置为$0$

这么做的话，那么这种情况会不会出锅呢：

6 5 4 6 5 3

是不会的，因为把后一个$5$的方案数置为$0$之后，$3$还可以从前一个$5$转移过来，如果让$3$从两个地方都累加上了答案，那才会出锅。

还有就是方案数会爆$long$ $long$，$_int128$也爆了，所以要用高精度。我直接用了封装成结构体的形式：

https://www.cnblogs.com/lyttt/p/11805335.html

（详见博客）

 //nice
 /*
 ID: Starry21
 LANG: C++
 TASK: buylow
 */
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<vector>
 #include<cstring>
 #include<climits>
 using namespace std;
 #define N 5005
 #define ML 505//MaxLenth
 #define ll long long
 #define INF 0x3f3f3f3f
 struct BT//BigInt
 {
     int a[ML],len;
     BT()//初始化
     {
         memset(a,,sizeof(a));
         len=;
     }
     void Init()
     {
         a[]=;
     }
     BT operator + (const BT &A)const
     {
         BT B;
         B.len=max(len,A.len);
         for(int i=;i<B.len;i++)
         {
             B.a[i]+=A.a[i]+a[i];
             if(B.a[i]>=)
             {//进位 9+9=18 进位不会超过10
                 B.a[i]-=;
                 B.a[i+]++;
             }
         }
         if(B.a[B.len])//进到了下一位
             B.len++;
         return B;
     }
     void read()
     {
         char d[ML];
         scanf("%s",d);
         int l=strlen(d);
         for(int i=;i<l;i++)
             a[i]=d[l-i-]-'';
         len=l;
     }
     void write()
     {
         for(int i=len-;i>=;i--)
             printf("%d",a[i]);
     }
 };
 ll rd()
 {
     ll f=1ll,x=;char c=getchar();
     while(c<''||c>''){if(c=='-') f=-;c=getchar();}
     while(c>=''&&c<=''){x=(x<<)+(x<<)+(c^);c=getchar();}
     return f*x;
 }
 int n;
 ll a[N];
 int f[N];
 BT s[N];
 int main()
 {
     //freopen("buylow.in","r",stdin);
     //freopen("buylow.out","w",stdout);
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++)
         a[i]=rd();
     /*
     后面统计答案，是f[i]==max_long的s[i]全部加起来
     如果出现重复的 那个地方的s[]应该为0
     3 2 1 3 2 1
     后面那3个数的s[]都应该为0
     如果一来就赋了初值1 答案就会错
     */
     s[].Init(),a[]=LONG_MAX;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         for(int j=i-;j>=;j--)
             if(a[j]>a[i])
                 f[i]=max(f[i],f[j]+);
         for(int j=i-;j>=;j--)
         {//记录方案数
             if(a[j]>a[i]&&f[i]==f[j]+) s[i]=s[i]+s[j];
             if(a[i]==a[j]&&f[i]==f[j]) break;
             /*
             防止重复
             3 2 1 3 2 1
             3 2 1是本质相同的序列
             是为了防止第6个数向第2个数转移的情况
             */
         }
     }
     ll t1=;BT t2;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         if(f[i]>t1)
             t1=f[i],t2=s[i];
         else if(f[i]==t1) t2=t2+s[i];
     }
     printf("%lld ",t1);
     t2.write();
     puts("");
     return ;
 }

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