[CSP-S模拟测试]:Race（数学+Trie树）

题目描述

一年一度的运动会开始了。有$N$个选手参赛，第$i$个选手有一个能力值（保证$A[i]$两两不同），比赛一共进行了天。在第$j$天（$0\leqslant j\leqslant 2^{m-1}$）的比赛中，第$i$个选手的得分为$A[i]\ xor\ j$，然后从大到小排名，排名为$x$（$x$从$0$开始）的同学会获得的积分，你需要求出每个同学最后总的积分和$q[i]$模${10}^9+7$的结果$p[i]$。为了避免输出文件过大，你只要输出$p[i]$的异或和即可。

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输入格式

第一行两个整数，分别代表$N,M$。
接下来一行$N$个整数，第$i$个数代表$A[i]$。

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输出格式

一个整数代表答案。

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样例

样例输入：

3 2
0 1 2

样例输出：

8

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数据范围与提示

对于$10\%$的数据，$M\leqslant 5$。
对于$30\%$的数据，$N\leqslant 100$。
对于$50\%$的数据，$N\leqslant 1,000$。
对于$100\%$的数据，$N\leqslant 200,000,M\leqslant 30,A[i]<2^m$。

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题解

考虑怎么求出$x$的答案。平方相当于是枚举两个人（可以相同），把这两个人同时排在$x$前面的天数计入答案。那么对于$x$，如果我们求出$f[i]$也就是能力值的二进制中第$i+1$到$M-1$位都和他相等且第$i$位不同的人有多少个，那么这些人是否排在他前面只由第$i$位确定，一共有$2^{(M-1)}$天，而且不需要从这些人中枚举两个人了，因为直接平方即可。我们只要枚举$i$和$j$，$f[i]$这些人和$f[j]$这些人同时排在他前面的天数为$2^{(M-2)}$，所以把$2\times f[i]\times f[j]\times 2^{(M-2)}$计入答案。具体实现有很多方法，可以用$trie$树实现。

时间复杂度：$\Theta(N)$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int trie[10000000][2],cnt;
long long size[10000000];
long long ans;
void insert(int x)
{
	int p=0;
	for(int i=m-1;i>=0;i--)
	{
		int c=(x>>i)&1;
		if(!trie[p][c])trie[p][c]=++cnt;
		p=trie[p][c];
		size[p]++;
	}
}
void dfs(int x,long long sum,long long num)
{
	if(trie[x][0])dfs(trie[x][0],(sum+(size[trie[x][1]]*size[trie[x][1]]%1000000007*(1<<m-1)%1000000007+size[trie[x][1]]*num%1000000007*(1<<m-1)%1000000007)%1000000007)%1000000007,num+size[trie[x][1]]);
	if(trie[x][1])dfs(trie[x][1],(sum+(size[trie[x][0]]*size[trie[x][0]]%1000000007*(1<<m-1)%1000000007+size[trie[x][0]]*num%1000000007*(1<<m-1)%1000000007)%1000000007)%1000000007,num+size[trie[x][0]]);
	if(!trie[x][0]&&!trie[x][1])ans^=sum;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int a;scanf("%d",&a);
		insert(a);
	}
	dfs(0,0,0);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

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rp++