洛谷P4891 序列（势能线段树）

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闲话

考场上一眼看出这是个毒瘤线段树准备杠题，发现实在太难调了，被各路神犇虐哭qwq

考后看到各种优雅的暴力AC。。。。。。宝宝心里苦qwq

思路分析

题面里面是一堆乱七八糟的限制和性质，这时候需要冷静想想有没有可利用的地方。蒟蒻一开始往势能线段树上面想了想。

定义一个全局势能函数，为所有\(C_i<B_i\)的位置个数。注意两个操作的修改都不会小于原来的数。

一个是改\(A\)，相当于对\(C\)进行区间设置，此时我们每暴力找到一个原来\(C_i<B_i\)但是现在\(C_i\ge y\)的位置，就需要在线段树内跳\(\log\)层，再修改，势能函数就会下降。如果碰到那些修改以后对势能没有影响的子区间，就跳过而不继续暴力递归下去。

一个是改\(B\)，是单点修改，线段树内跳\(\log\)层，势能函数至多加\(1\)。

于是，如果我们能够维护信息，从而判断和控制哪里该暴力递归、哪里该跳过的话，我们总的在线段树内跳的次数不会超过\((n+q)\log n\)。

下面用a代替了\(C\)，b代替了\(B\)。蒟蒻在线段树里维护了：

• pa：区间所有a<b的位置的a的积
• pb：区间所有a>=b的位置的b的积
• ma：区间a的最大值
• mb：区间所有a<b的位置的b的最小值，没有则设成INF
• cnt：区间所有a<b的位置的总数
• la：bool型变量，区间设置懒标记

修改a的时候，利用单调不降的性质，我们在线段树上先通过二分来对需要修改的若干个子树进行定位。对于当前子区间，如果当前设置值\(y\)比mb要小，那么设置对答案没有影响，直接打上区间设置标记后退出；否则继续递归直到找到叶子节点，进行修改后退出。

修改b就比较轻松，只要找到对应的叶子节点改完后一路回溯即可。

很多事都是说起来容易做起来难，这题也不例外。调试几乎花了整个晚上。要注意的细节很多，也只好自己仔细思考了。

时间复杂度\(O(n\log n+q\log^2n)\)，上界很松。多出来的\(\log\)是区间改a时需要快速幂更新pa造成的。

跑了不到200ms，比什么树套树、分块还是要好看一点，但是被暴力碾压也是有点无奈啊～

#include<bits/stdc++.h>
#define RG register
#define R RG int
#define I inline
#define G if(++ip==ie)fread(ip=buf,1,N,stdin)
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL N=1<<18,YL=1e9+7;
char buf[N],*ie=buf+N,*ip=ie-1;
int y,a[N];
I int in(){
    G;while(*ip<'-')G;
    R x=*ip&15;G;
    while(*ip>'-'){x*=10;x+=*ip&15;G;}
    return x;
}
I LL qpow(RG LL b,R k){//快速幂
    RG LL a=1;
    for(;k;k>>=1,(b*=b)%=YL)
        if(k&1)(a*=b)%=YL;
    return a;
}
struct Node{//个人认为写指针比较直观（貌似immortalCO也有这样的看法）
    Node*lc,*rc;bool la;
    LL pa,pb;int l,r,m,ma,mb,cnt;
    I void up(){//上传
        pa=lc->pa*rc->pa%YL;
        pb=lc->pb*rc->pb%YL;
        ma=max(lc->ma,rc->ma);
        mb=min(lc->mb,rc->mb);
        cnt=lc->cnt+rc->cnt;
    }
    I void dn(){//下传区间设置标记
        if(la){
            lc->ma=rc->ma=ma;
            lc->la=rc->la=1;la=0;
            lc->pa=qpow(ma,lc->cnt);
            rc->pa=qpow(ma,rc->cnt);
        }
    }
    I void build(R s,R e){//建树
        l=s;r=e;m=(s+e)>>1;la=0;
        if(s==e){
            ma=a[l];mb=in();
            (cnt=ma<mb)?(pa=ma,pb=1):(pa=1,pb=mb,mb=YL);
            return;
        }
        (lc=new Node)->build(l,m);
        (rc=new Node)->build(m+1,r);
        this->up();
    }
    I void upda(){//区间修改a
        if(y<mb){//对区间势能没有影响
            pa=qpow(ma=y,cnt);la=1;
            return;
        }
        if(l==r){//到了叶子节点
            ma=y;pa=1;pb=mb;mb=YL;
            return;
        }
        this->dn();
        lc->upda();rc->upda();
        this->up();
    }
    I void updb(R s){//单点更新b
        if(l==r){//仔细判断三种情况再修改
            if(ma<pb)mb=y;
            else if(ma<y)pa=ma,pb=cnt=1,mb=y;
            else pb=y;
            return;
        }
        this->dn();
        (s<=m?lc:rc)->updb(s);
        this->up();
    }
    I void bound(R s){//线段树二分定位，注意细节
        if(s==l&&ma<y)return this->upda();
        if(l==r)return;
        this->dn();
        if(lc->ma<y)rc->bound(m+1);
        lc->bound(s);
        this->up();
    }
};
int main(){
    R n=in(),q=in(),op,x;
    for(R i=1;i<=n;++i)a[i]=max(a[i-1],in());
    RG Node rt;rt.build(1,n);
    while(q--){
        op=in();x=in();y=in();
        op?rt.updb(x):rt.bound(x);
        printf("%lld\n",rt.pa*rt.pb%YL);
    }
    return 0;
}