[FJOI2016]建筑师 斯特林数

早期作品，不喜轻喷。

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组合数与斯特林数的基本应用。

组合数

大家应该都熟悉它的表达式，但我们这里使用它的递推式会更加方便，下面推导组合数的递推式。设\(\binom{n}{m}\)表示在\(n\)个元素中取\(m\)个的方案数，那么如果我们考虑第\(n\)个元素取或不取：取的情况就要在剩下的\(n-1\)个元素中取\(m-1\)个；不取的情况就要在剩下的\(n-1\)个元素中取\(m\)个。由此得到递推式：

\(\qquad \binom{n}{m}=\binom{n-1}{m-1}+\binom{n-1}{m}\)

斯特林数

准确地说是第一类斯特林数，通常用中括号表示，形如\([^{\,n}_{m}]\)，表示\(n\)个人坐\(m\)张圆桌（没有空桌）的方案个数，我们也只需要考虑递推式。考虑第\(n\)个人单独坐一张桌子或坐到已经有人的桌子上：如果单独坐一张桌子，前面的\(n-1\)就要坐\(m-1\)张桌子；如果坐到已经有人的桌子上，就先让\(n-1\)个人坐\(m\)张桌子，第\(n\)个人可以坐到之前\(n-1\)个人中任意一个人的左边（其实说右边也无所谓，因为人们坐的是圆桌，这样考虑是为了不重不漏地包含所有的情况），这样我们就可以得到递推式：

\(\qquad [^{\,n}_{m}]=[^{\,n-1}_{m-1}]+(n-1)*[^{n-1}_{\,\,\,m}]\)

下面进入正题

首先，高度为\(n\)的建筑是肯定不会被挡住的，可以把它作为一个分水岭，在它左边的被左边的建筑挡住，在它右边的被右边的建筑挡住。

由此我们可以把所有的建筑分成\(A+B-1\)个部分，每个部分由这个部分最高的建筑和被他所挡住的建筑组成，高\(n\)的建筑单独构成一个部分。

那么我们就可以把除了\(n\)以外的\(n-1\)个建筑放到\(A+B-2\)个圆桌上（\(n\)独坐一个桌），这时就是一个斯特林数。

对于每个圆桌上的建筑，构成了一个圆排列，但由于必须有一个最高的建筑挡住其他的建筑，这个圆排列的起始端就确定了，可以不重不漏地代表一个之前提到的部分。

对于每一个这样的部分，我们只需考虑它是放在\(n\)的左边还是右边，因此答案再乘上一个组合数就可以了。

答案就是：

\(\qquad [^{\,\,\,\,\,\,n-1}_{A+B-2}]*\binom{A+B-2}{A-1}\)

我们只需要利用递推式，就可以\(O(A*n)\)的求出我们所需的斯特林数，\(O(A^2)\)的求出需要的组合数。

代码实现

#include<cstdio>
#define R register
#define L long long
#define S 50000
#define N 200
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
L s[S+10][N+10],c[N+10][N+10];
inline int read(){
	R int f=0;  R char ch=getchar();
	while(ch<48||ch>57) ch=getchar();
	while(ch>47&&ch<58) f=(f<<3)+(f<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return f;
}
int main(){
	R int t=read(),n,a,b,i,j;
	s[0][0]=s[1][1]=1;
	for(i=2;i<=S;++i) s[i][1]=s[i-1][1]*(i-1);
	for(i=0;i<=N;++i) c[i][0]=1;
	for(i=2;i<=S;++i)
		for(j=1;j<=N&&j<=i;++j)
			s[i][j]=(s[i-1][j-1]+s[i-1][j]*(i-1))%mod;//斯特林数递推式
	for(i=1;i<=N;++i)
		for(j=1;j<=N>>1&&j<=i;++j)
			c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;//组合数递推式
	while(t--){
		n=read(),a=read(),b=read();
		printf("%lld\n",s[n-1][a+b-2]*c[a+b-2][a-1]%mod);
	}
	return 0;
}

我在文中用的斯特林数（中括号）是靠上标下标表示的，效果可能不太好，如果有哪位大佬知道怎么打这种中括号，请在评论区里留言，谢谢！