CodeForces - 55D Beautiful numbers（数位DP+Hash）题解

题意：美丽数定义：一个正数能被所有位数整除。求给出一个范围，回答这个范围内的美丽数。

思路：一个数能被所有位数整除，换句话说就是一个数能整除所有位数的LCM，所以问题就转化为一个数能否被所有位数的LCM整除。按照一般的思想，直接开三维dp[pos][num][lcm]。但是num范围很大，直接开就爆了，怎么办呢？我们可以把num%2520（即1~9的LCM）储存为mod，因为所有位数最大的LCM就是2520，所以可以mod 2520。然后你很开心的开了dp[pos][2520][2520]，然后你又爆了...

然后你可以发现虽然LCM最大是2520，但是没有一个LCM是2519这样的数字，这样就有很多空间浪费，打个表可以发现，1~9的LCM其实就48个数字，我们把这48个数字Hash一下保存，那么就缩小到了dp[pos][2520][48]。

然后你就可以A了

友谊赛被打爆了，水题都不会了

参考

代码：

#include<cstdio>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
const int N = 50000+5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
using namespace std;
int dig[20];
ll dp[20][2550][50],Hash[2550];
ll Gcd(ll a,ll b){
    return b == 0? a : Gcd(b,a%b);
}
ll Lcm(ll a,ll b){
    return  a * b / Gcd(a,b);
}
ll dfs(int pos,int mod,int lcm,bool limit){
    if(pos == -1) return mod % lcm == 0? 1 : 0;
    if(!limit && dp[pos][mod][Hash[lcm]] != -1) return dp[pos][mod][Hash[lcm]];
    int top = limit? dig[pos] : 9;
    ll ret = 0;
    for(int i = 0;i <= top;i++){
        int MOD = (mod*10 + i) % 2520;
        int LCM;
        if(i) LCM = Lcm(i,lcm);
        else LCM = lcm;
        ret += dfs(pos - 1,MOD,LCM,limit && i == top);
    }
    if(!limit) dp[pos][mod][Hash[lcm]] = ret;
    return ret;
}
ll solve(ll x){
    int pos = 0;
    while(x){
        dig[pos++] = x % 10;
        x /= 10;
    }
    ll ret = dfs(pos- 1,0,1,true);
    return ret;
}
int main(){
    int T;
    ll l,r,cnt = 0;
    scanf("%d",&T);
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    for(int i = 1;i*i <= 2520;i++){ //hash
        if(2520 % i == 0){
            Hash[i] = cnt++;
            if(i*i != 2520){
                Hash[2520 / i] = cnt++;
            }
        }
    }
    while(T--){
        scanf("%I64d%I64d",&l,&r);
        printf("%I64d\n",solve(r) - solve(l - 1));
    }
    return 0;
}