【BZOJ4361】isn（动态规划，容斥）

【BZOJ4361】isn（动态规划，容斥）

题面

BZOJ

题解

首先我们如果确定了一个不降序列，假设它的长度为\(i\)，

那么可行的方案数为\(i*(n-i)!\)，但是这样有一些非法的情况，即删掉最后一个数之前已经是有序的了。

那么设\(g[i]\)表示长度为\(i\)的不降序列的总数

因为所有长度为\(i\)的不降序列一定包含在长度为\(i+1\)的不降序列之中

如果先构成了一个长度为\(i+1\)的不降序列，再删掉了一位，那么这样是不合法的。

所以长度为\(i\)的不降序列的贡献为：

\[g[i]*(n-i)!-g[i+1]*(n-i-1)!*(i+1)
\]

即先构成了一个长度为\(i+1\)的不降序列，再枚举删去了哪个数构成了长度为\(i\)的不降序列。

至于\(i\)怎么算，可以设\(f[i][j]\)表示以\(i\)结尾，长度为\(j\)的不降序列的个数

\(f[i][j]=\sum f[k][j-1](a[k]\le a[i])\)

树状数组优化一下就好了

时间复杂度\(O(n^2logn)\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 2002
#define MOD 1000000007
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
int a[MAX],n,S[MAX],len;
int f[MAX][MAX],g[MAX];
int c[MAX],jc[MAX],ans;
int lb(int x){return x&(-x);}
void modify(int x,int w){while(x<=len)add(c[x],w),x+=lb(x);}
int getsum(int x){int ret=0;while(x)add(ret,c[x]),x-=lb(x);return ret;}
int main()
{
	n=read();jc[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=S[++len]=read();S[++len]=0;
	sort(&S[1],&S[len+1]);len=unique(&S[1],&S[len+1])-S-1;
	for(int i=0;i<=n;++i)a[i]=lower_bound(&S[1],&S[len+1],a[i])-S;
	f[0][0]=1;
	for(int j=1;j<=n;++j)
	{
		memset(c,0,sizeof(c));
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			modify(a[i-1],f[i-1][j-1]);
			f[i][j]=getsum(a[i]);
			add(g[j],f[i][j]);
		}
	}
	add(ans,g[n]);
	for(int i=n-1;i;--i)
		add(ans,(1ll*g[i]*jc[n-i]%MOD-1ll*g[i+1]*jc[n-i-1]%MOD*(i+1)%MOD+MOD)%MOD);
	printf("%d\n",ans);
}