【刷题】LOJ 6041 「雅礼集训 2017 Day7」事情的相似度

题目描述

人的一生不仅要靠自我奋斗，还要考虑到历史的行程。

历史的行程可以抽象成一个 01 串，作为一个年纪比较大的人，你希望从历史的行程中获得一些姿势。

你发现在历史的不同时刻，不断的有相同的事情发生。比如，有两个人同时在世纪之交 11 年的时候上台，同样喜欢与洋人谈笑风生，同样提出了以「三」字开头的理论。

你发现，一件事情可以看成是这个 01 串的一个前缀，这个前缀最右边的位置就是这个事情的结束时间。

两件事情的相似度可以看成，这两个前缀的最长公共后缀长度。

现在你很好奇，在一段区间内结束的事情中最相似的两件事情的相似度是多少呢？

输入格式

第一行两个整数 \(n\)、\(m\) ，表示串长和询问个数。

第二行长度为 \(n\) 的 01 串，表示历史的行程。

接下来 \(m\) 行，每行两个正整数 \(l\) 、\(r\) 表示询问的区间，包括端点，保证 \(1 \leq l < r \leq n\) 。

输出格式

输出 \(m\) 行，对每个询问输出一个整数表示最大的相似度。

样例

样例输入 1

4 2
0101
1 3
2 4

样例输出 1

1
2

数据范围与提示

测试点	$n$ $=$	$m$ $=$
1 ~ 2	100	100
3 ~ 4	300	1000
5 ~ 6	5000	5000
7 ~ 10	100000	300
11 ~ 14	50000	50000
15 ~ 20	100000	100000

题解

线段树+LCT+SAM

将询问按照右端点从小到大离线，从左往右枚举右端点，计算询问右端点为当前枚举点的答案

首先知道，两个前缀的最长后缀的长度就是它们在SAM中LCA的len

那么先搞定LCA。在extend一个字母的时候，将它到根的路径上所有的点全部打上标记，标记是当前字母的位置。那么以后如果有新字母插入的时候，如果遇到了这个标记，那么标记的那个点一定是这两个字母的公共祖先，那么它的len可能会产生贡献

那么每插入一个新节点，就遍历它到根的路径，寻找标记，计算贡献。复杂度？把这个过程放进LCT的access

对于同一个点的多个标记，由于我们的枚举方式，肯定是标记越大越优，所以extend字母要打标记的时候，直接把它到根路径上的所有点全部标记为当前位置就好了。这个操作又可以交给LCT解决

考虑怎么算答案。搞一棵线段树。在遍历节点到根的路径算贡献的时候，假设到达节点 \(i\) ，标记是 \(ps_i\) ，那么在线段树 \(ps_i\) 的位置上chkmax一下当前节点的len，表示更新以 \(ps_i\) 位置结尾的前缀和某个前缀匹配，相同后缀的最大长度是多少。

最后对于一个 \(l\) ，\(r\) 的询问，只要在线段树里找 \(l\) 到 \(r\) 中的max就可以了

#include<bits/stdc++.h>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
#define ull unsigned long long
const int MAXN=100000+10,MAXM=100000+10;
int n,m,fa[MAXN<<1],len[MAXN<<1],ch[MAXN<<1][2],ans[MAXM],las=1,tot=1,ps[MAXN];
char s[MAXN];
struct node{
	int l,r,id;
	inline bool operator < (const node &A) const {
		return r<A.r||(r==A.r&&l<A.l);
	};
};
node query[MAXM];
template<typename T> inline void read(T &x)
{
	T data=0,w=1;
	char ch=0;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
	x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char ch='\0')
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	if(ch!='\0')putchar(ch);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
#define Mid ((l+r)>>1)
#define ls rt<<1
#define rs rt<<1|1
#define lson ls,l,Mid
#define rson rs,Mid+1,r
struct Segment_Tree{
	int Mx[MAXN<<2];
	inline void PushUp(int rt)
	{
		Mx[rt]=max(Mx[ls],Mx[rs]);
	}
	inline void Update(int rt,int l,int r,int ps,int k)
	{
		if(l==r&&r==ps)chkmax(Mx[rt],k);
		else
		{
			if(ps<=Mid)Update(lson,ps,k);
			else Update(rson,ps,k);
			PushUp(rt);
		}
	}
	inline int Query(int rt,int l,int r,int L,int R)
	{
		if(L<=l&&r<=R)return Mx[rt];
		else
		{
			int res=0;
			if(L<=Mid)chkmax(res,Query(lson,L,R));
			if(R>Mid)chkmax(res,Query(rson,L,R));
			return res;
		}
	}
};
Segment_Tree sT;
#undef Mid
#undef ls
#undef rs
#undef lson
#undef rson
#define lc(x) ch[(x)][0]
#define rc(x) ch[(x)][1]
struct LinkCut_Tree{
	int ch[MAXN<<1][2],fa[MAXN<<1],stack[MAXN<<1],val[MAXN<<1],pd[MAXN<<1],cnt;
	inline bool nroot(int x)
	{
		return lc(fa[x])==x||rc(fa[x])==x;
	}
	inline void pushdown(int x)
	{
		if(pd[x])
		{
			if(lc(x))val[lc(x)]=pd[lc(x)]=pd[x];
			if(rc(x))val[rc(x)]=pd[rc(x)]=pd[x];
			pd[x]=0;
		}
	}
	inline void rotate(int x)
	{
		int f=fa[x],p=fa[f],c=(rc(f)==x);
		if(nroot(f))ch[p][rc(p)==f]=x;
		fa[ch[f][c]=ch[x][c^1]]=f;
		fa[ch[x][c^1]=f]=x;
		fa[x]=p;
	}
	inline void splay(int x)
	{
		cnt=0;
		stack[++cnt]=x;
		for(register int i=x;nroot(i);i=fa[i])stack[++cnt]=fa[i];
		while(cnt)pushdown(stack[cnt--]);
		for(register int y=fa[x];nroot(x);rotate(x),y=fa[x])
			if(nroot(y))rotate((lc(y)==x)==(lc(fa[y])==y)?y:x);
	}
	inline void access(int x)
	{
		for(register int y=0;x;x=fa[y=x])
		{
			splay(x);
			if(val[x])sT.Update(1,1,n,val[x],len[x]);
			rc(x)=y;
		}
	}
};
LinkCut_Tree lT;
#undef lc
#undef rc
inline void extend(int c,int i)
{
	int p=las,np=++tot;
	las=np;
	len[np]=len[p]+1;ps[i]=np;
	while(p&&!ch[p][c])ch[p][c]=np,p=fa[p];
	if(!p)fa[np]=1;
	else
	{
		int q=ch[p][c];
		if(len[q]==len[p]+1)fa[np]=q;
		else
		{
			int nq=++tot;
			fa[nq]=fa[q];
			memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[nq]));
			len[nq]=len[p]+1;fa[q]=fa[np]=nq;
			while(p&&ch[p][c]==q)ch[p][c]=nq,p=fa[p];
		}
	}
}
int main()
{
	read(n);read(m);
	scanf("%s",s+1);
	for(register int i=1;i<=m;++i)
	{
		read(query[i].l),read(query[i].r);
		query[i].id=i;
	}
	std::sort(query+1,query+m+1);
	for(register int i=1,lt=strlen(s+1);i<=lt;++i)extend(s[i]-'0',i);
	for(register int i=1;i<=tot;++i)lT.fa[i]=fa[i];
	for(register int i=1,j=1;i<=n;++i)
	{
		lT.access(ps[i]);
		while(j<=m&&query[j].r==i)ans[query[j].id]=sT.Query(1,1,n,query[j].l,i),++j;
		lT.splay(ps[i]);lT.val[ps[i]]=lT.pd[ps[i]]=i;
	}
	for(register int i=1;i<=m;++i)write(ans[i],'\n');
	return 0;
}