[偏微分方程教程习题参考解答]4.1Duhamel 原理

1. 如果已知下述常微分方程的特定初值问题 $$\bex \sedd{\ba{ll} -y''+y=0,&x>0,\\ y(0)=0,\quad y'(0)=1 \ea} \eex$$ 的解为 $y=Y(x)$, 试通过它写出一般初值问题 $$\bex \sedd{\ba{ll} -y''+y=f(x),&x>0,\\ y(0)=a,\quad y'(0)=b \ea} \eex$$ 的解的表达式.

解答: $$\bex aY'(x)+b Y(x)-\int_0^x f(t)Y(x-t)\rd t. \eex$$

2. 如果已知以下初值问题 $$\bex \sedd{\ba{ll} y^{(k)}+a_1y^{(k-1)}+\cdots+a_ky=0,&x>0,\\ y(0)=y'(0)=\cdots=y^{(k-2)}(0)=0, y^{(k-1)}(0)=1,&k\geq 2 \ea} \eex$$ 的解为 $y=Y(x)$, 其中 $a_1,\cdots,a_k$ 皆为常数. 试通过它写出一般初值问题 $$\bex \sedd{\ba{ll} y^{(k)}+a_1y^{(k-1)}+\cdots+a_ky=f(x),&x>0,\\ y(0)=\al_0, \cdots, y^{(k-1)}(0)=\al_{k-1} \ea} \eex$$ 的解的表达式.

解答: $$\bex \sum_{i=0}^{k-1} \al_iY^{(k-1-i)}(x)+\int_0^x f(t)Y(x-t)\rd t. \eex$$

3. 证明定理 4.2.

证明: 显然, $$\bex v_2(0,t)=v_2(l,t)=0,\quad v_2(x,0)=0. \eex$$ 另外, 也有 $$\beex \bea \frac{\p v_2}{\p t} &= w(x,t,t)+\int_0^t \frac{\p}{\p t}w(t,x,\tau)\rd \tau =\int_0^t \frac{\p }{\p t}w(t,x\tau)\rd \tau\ra \frac{\p v_2}{\p t}(x,0)=0,\\ \frac{\p^2v_2}{\p t^2} &=\frac{\p w}{\p t}(x,t,t) +\int_0^t \frac{\p^2}{\p t^2}w(x,t,\tau)\rd\tau\\ &=f_1(x,t)+\int_0^t a^2\frac{\p^2}{\p x^2}w(x,t,\tau)\rd \tau\\ &=f_1(x,t)+a^2\frac{\p^2v_2}{\p x^2}. \eea \eeex$$

4. 找出函数变换将下面的边界条件齐次化:

(1). $u_x(0,t)=\mu_1(t),\ u(l,t)=\mu_2(t)$.

(2). $u(0,t)=\mu_1(t),\ u_x(l,t)=\mu_2(t)$.

解答:

(1). $$\bex U(x)=u(x)-[(x-l)\mu_1(t)+\mu_2(t)]. \eex$$

(2). $$\bex U(x)=u(x)-[\mu_1(t)+x\mu_2(t)]. \eex$$