Luogu 3629 [APIO2010]巡逻

先考虑$k = 1$的情况，很明显每一条边都要被走两遍，而连成一个环之后，环上的每一条边都只要走一遍即可，所以我们使这个环的长度尽可能大，那么一棵树中最长的路径就是树的直径。

设直径的长度为$L$，答案就是$2(n - 1) - L + 1 = 2n - L - 1$。

考虑$k = 2$的情况，发现第一条边一定还是要把直径练成一个环，而第二条边是要再求一个类似于直径的东西，具体来说，可以把原来直径（记为$L_{1}$）上的每一条边的边权取为$-1$，然后再求一遍直径（记为$L_{2}$），这样子的话答案就是$2(n - 1) - (L_{1} - 1) - (L_{2} - 1) = 2n - L_{1} - L_{2}$。发现这样做之后如果第二条直径上包含着第一条直径上的部分，那么重叠的部分就被重新加了回来，所以这样子求出来的答案就是最后的答案。

由于可以在同一个点连边，那么$L_{2}$至少要为$0$。

注意第二次求直径的时候要使用树形$dp$，两次$bfs$的方法会挂，因为边带负权之后会相当于把之前带正权的边的贡献减掉，所以第一次求出来的一端并不一定是直径的一个端点。

时间复杂度$O(n)$。

Code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1e5 + ;
const int inf =  << ;

int n, m, tot = , head[N];
int root, eid[N], dis[N], ans = ;
int f[N], d[N];

struct Edge {
    int to, nxt, val;
} e[N << ];

inline void add(int from, int to) {
    e[++tot].to = to;
    e[tot].val = ;
    e[tot].nxt = head[from];
    head[from] = tot;
}  

inline void read(int &X) {
    X = ; char ch = ; int op = ;
    for(; ch > ''|| ch < ''; ch = getchar())
        if(ch == '-') op = -;
    for(; ch >= '' && ch <= ''; ch = getchar())
        X = (X << ) + (X << ) + ch - ;
    X *= op;
}

inline void chkMax(int &x, int y) {
    if(y > x) x = y;
}

void dfs(int x, int fat) {
    dis[x] = dis[fat] + ;
    for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) {
        int y = e[i].to;
        if(y == fat) continue;
        eid[y] = i ^ ;
        dfs(y, x);
    }
}

void dfs2(int x, int fat) {
    bool flag = ;
    for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) {
        int y = e[i].to;
        if(y == fat) continue;
        flag = ;
        dfs2(y, x);
        chkMax(ans, d[y] + e[i].val + d[x]);
        chkMax(d[x], d[y] + e[i].val);
    }
    if(!flag) d[x] = ;
}

int main() {
    read(n), read(m);
    for(int x, y, i = ; i < n; i++) {
        read(x), read(y);
        add(x, y), add(y, x);
    }

    dis[] = -;
    dfs(, );
    dis[root = n + ] = -inf;
    for(int i = ; i <= n; i++)
        if(dis[i] > dis[root]) root = i;

    dfs(root, );    

/*    for(int i = 1; i <= n; i++)
        printf("%d ", dis[i]);
    printf("\n");    */

    if(m == ) {
        for(int i = ; i <= n; i++)
            chkMax(ans, dis[i]);
        printf("%d\n",  * n -  - ans);
        return ;
    }

    int pnt = n + ;
    for(int i = ; i <= n; i++)
        if(dis[pnt] < dis[i]) pnt = i;

    for(int x = pnt; x != root; x = e[eid[x]].to)
        e[eid[x]].val = e[eid[x] ^ ].val = -;

    memset(f, , sizeof(f));
    memset(d, , sizeof(d));
    ans = ;
    dfs2(root, );

    printf("%d\n",  * n - dis[pnt] - ans);
    return ;
}