洛谷 P3765 总统选举 解题报告

P3765 总统选举

题目背景

黑恶势力的反攻计划被小C成功摧毁，黑恶势力只好投降。秋之国的人民解放了，举国欢庆。此时，原秋之国总统因没能守护好国土，申请辞职，并请秋之国人民的大救星小C钦定下一任。作为一名民主人士，小C决定举行全民大选来决定下一任。为了使最后成为总统的人得到绝大多数人认同，小C认为，一个人必须获得超过全部人总数的一半的票数才能成为总统。如果不存在符合条件的候选人，小C只好自己来当临时大总统。为了尽可能避免这种情况，小C决定先进行几次小规模预选，根据预选的情况，选民可以重新决定自己选票的去向。由于秋之国人数较多，统计投票结果和选票变更也成为了麻烦的事情，小C找到了你，让你帮他解决这个问题。

题目描述

秋之国共有\(n\)个人，分别编号为\(1,2,…,n\)，一开始每个人都投了一票，范围\(1\)~\(n\)，表示支持对应编号的人当总统。共有\(m\)次预选，每次选取编号\([l_i,r_i]\)内的选民展开小规模预选，在该区间内获得超过区间大小一半的票的人获胜，如果没有人获胜，则由小C钦定一位候选者获得此次预选的胜利（获胜者可以不在该区间内），每次预选的结果需要公布出来，并且每次会有\(k_i\)个人决定将票改投向该次预选的获胜者。全部预选结束后，公布最后成为总统的候选人。

输入输出格式

输入格式：

第一行两个整数\(n,m\)，表示秋之国人数和预选次数。

第二行\(n\)个整数，分别表示编号\(1\)~\(n\)的选民投的票。

接下来\(m\)行，每行先有\(4\)个整数，分别表示\(l_i,r_i,s_i,k_i\)，\(s_i\)表示若此次预选无人胜选，视作编号为\(s_i\)的人获得胜利，接下来\(k_i\)个整数，分别表示决定改投的选民。

输出格式：

共\(m+1\)行，前\(m\)行表示各次预选的结果，最后一行表示最后成为总统的候选人，若最后仍无人胜选，输出\(-1\)。

说明

对于前\(20\%\)的数据，\(1 \leq n,m \leq 5000\)。

对于前\(40\%\)的数据，\(1 \leq n,m \leq 50000\)，\(\sum k_i \leq 50000\)。

对于前\(50\%\)的数据，\(1 \leq n,m \leq 100000\)，\(\sum k_i \leq 200000\)。

对于数据点\(6\)_{$7$，保证所有选票始终在$1$}\(10\)之间。

对于\(100\%\)的数据，\(1 \leq n,m \leq 500,000\)，\(\sum k_i \leq 10^6\)，\(1 \leq l_i \leq r_i \leq n\)，\(1 \leq s_i \leq n\)。

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好题啊

区间求众数一般情况下只能用分块之类的求解

但是这题当选有条件啊，大于区间一半哎，肯定想办法在这里下手

bzoj有道题叫made,可以从这里得到启发

这题是这么做的呢

具体的说，我们从左向右扫描，假设当前可能成为答案的为\(v\)，且它出现了\(cnt\)次，如果当前数等于\(x\)，则\(++cnt\)，否则\(--cnt\)，若\(cnt==0\)，则替换\(x\)为当前数，\(cnt=1\)

这是什么原理呢？可以理解为减小了整个区间的抵消，因为要求出现一半以上，所以当一对不一样的数出现时，可以把这一对删掉，减小区间规模

可以这样做得到的数不一定是出现超过一半的，只是它最有可能

我们可以拿线段树模拟这个区间合并的过程，维护\(v\)和\(cnt\)，直接区间查询，单点修改

如何检验是否出现超过一半呢？对每一个候选人，我们搞一颗平衡树维护，以位置为BST性质，这样直接把区间分离出来看看大小就行了

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Code:

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#define ls ch[now][0]
#define rs ch[now][1]
const int N=2e6+10;
int bvote[N<<2],cnt[N<<2],vote[N],n,m;
void updata(int id)
{
    if(bvote[id<<1]==bvote[id<<1|1])
    {
        cnt[id]=cnt[id<<1]+cnt[id<<1|1];
        bvote[id]=bvote[id<<1];
        return;
    }
    if(cnt[id<<1]>cnt[id<<1|1])
    {
        cnt[id]=cnt[id<<1]-cnt[id<<1|1];
        bvote[id]=bvote[id<<1];
    }
    else
    {
        cnt[id]=cnt[id<<1|1]-cnt[id<<1];
        bvote[id]=bvote[id<<1|1];
    }
}
void change(int id,int l,int r,int pos,int v)
{
    if(l==r)
    {
        bvote[id]=v;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    if(pos<=mid) change(id<<1,l,mid,pos,v);
    else change(id<<1|1,mid+1,r,pos,v);
    updata(id);
}
int query(int id,int l,int r,int L,int R,int &ct)
{
    if(l==L&&r==R)
    {
        ct=cnt[id];
        return bvote[id];
    }
    int Mid=L+R>>1;
    if(r<=Mid) return query(id<<1,l,r,L,Mid,ct);
    else if(l>Mid) return query(id<<1|1,l,r,Mid+1,R,ct);
    else
    {
        int lv,rv,lc,rc,nv;
        lv=query(id<<1,l,Mid,L,Mid,lc),rv=query(id<<1|1,Mid+1,r,Mid+1,R,rc);
        if(lv==rv) {ct=lc+rc;return lv;}
        if(lc>rc) nv=lv,ct=lc-rc;
        else nv=rv,ct=rc-lc;
        return nv;
    }
}
void build(int id,int l,int r)
{
    if(l==r)
    {
        cnt[id]=1,bvote[id]=vote[l];
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(id<<1,l,mid),build(id<<1|1,mid+1,r);
    updata(id);
}
int ch[N][2],siz[N],val[N],dat[N],tot,root[N];
void updata2(int now){siz[now]=siz[ls]+siz[rs]+1;}
void split(int now,int k,int &x,int &y)
{
    if(!now){x=y=0;return;}
    if(dat[now]<=k)
        x=now,split(rs,k,rs,y);
    else
        y=now,split(ls,k,x,ls);
    updata2(now);
}
int Merge(int x,int y)
{
    if(!x||!y) return x+y;
    if(val[x]<val[y])
    {
        ch[x][1]=Merge(ch[x][1],y);
        updata2(x);
        return x;
    }
    else
    {
        ch[y][0]=Merge(x,ch[y][0]);
        updata2(y);
        return y;
    }
}
int New(int k)
{
    val[++tot]=rand(),siz[tot]=1,dat[tot]=k;
    return tot;
}
void Insert(int id,int k)
{
    int x,y;
    split(root[id],k,x,y);
    root[id]=Merge(x,Merge(New(k),y));
}
void extrack(int id,int k)
{
    int x,y,z;
    split(root[id],k,x,y);
    split(x,k-1,x,z);
    root[id]=Merge(x,y);
}
int ask(int id,int l,int r)
{
    int x,y,z,s;
    split(root[id],l-1,x,y);
    split(y,r,z,y);
    s=siz[z];
    root[id]=Merge(x,Merge(z,y));
    return s;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",vote+i),Insert(vote[i],i);
    build(1,1,n);
    for(int l,r,s,k,p,ct,i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&l,&r,&s,&k);
        int naive=query(1,l,r,1,n,ct);
        if(ask(naive,l,r)>(r+1-l>>1)) s=naive;
        printf("%d\n",s);
        for(int j=1;j<=k;j++)
        {
            scanf("%d",&p);
            extrack(vote[p],p);
            vote[p]=s;
            Insert(vote[p],p);
            change(1,1,n,p,vote[p]);
        }
    }
    int nai=bvote[1];
    if((ask(nai,1,n)<<1)>n) printf("%d\n",nai);
    else printf("-1\n");
    return 0;
}

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2018.9.5