【bzoj4808】【马】二分图最大点独立集+简单感性证明

（上不了p站我要死了，侵权度娘背锅）

Description

众所周知，马后炮是中国象棋中很厉害的一招必杀技。”马走日字”。本来，如果在要去的方向有别的棋子挡住（俗称”蹩马腿”），则不允许走过去。为了简化问题，我们不考虑这一点。马跟马显然不能在一起打起来，于是rly在一天再次借来了许多许多的马在棋盘上摆了起来……但这次，他实在没兴趣算方案数了，所以他只想知道在N×M的矩形方格中摆马使其互不吃到的情况下的最多个数。但是，有一个很不幸的消息，rly由于玩得太Happy，质量本来就不好的棋盘被rly弄坏了，不过幸好只是破了其中的一些格子（即不能再放子了），问题还是可以继续解决的。

Input

一行，两个正整数N和M。

接下来N行，每行M个数，要么为0，表示没坏，要么为1，表示坏了。

N<=200,M<=200

Output

一行，输出最多的个数。

Sample Input

2 3

0 1 0

0 1 0

Sample Output

2

算是一道裸题了吧

为了二分图练手以及多见一些二分图的性质

网格图是天然的二分图（当然并不是网格图就一定是二分图的题），将网格交替染色，则发现马的走法一定是从黑到白（或从白到黑）。那么这就是求互不可达的马的数量，即 最大点独立集

下面来感性证明一下 最大点独立集=点数-最小点覆盖（最大匹配）：



用最少的点覆盖完了所有的边，那么如果我们删去这些属于最大匹配的点（边的一端），则剩下的点就不会和其他点相邻。如果还与别的点相邻，就说明这其实还是一个匹配，那么之前的匹配就不是最大匹配了。

1A代码（写的好丑）：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

template <typename T>inline void read(T &res){
    T k=1,x=0;char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')k=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    res=x*k;
}

const int N=205;

int n,m,c[N][N];
int head[N*N],to[N*N*8],nxt[N*N*8],hh=0;
int tot=0,cnt=0;
int bl[N*N];
bool vis[N*N];

void adde(int a,int b){
    hh++;
    to[hh]=b;
    nxt[hh]=head[a];
    head[a]=hh;
}
bool find(int u){
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
        int v=to[i];
        if(vis[v]) continue;
        vis[v]=1;
        if(bl[v]==0||find(bl[v])){
            bl[v]=u;
            return true;
        }
    }
    return false;
}
int main(){
    read(n),read(m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++){
            read(c[i][j]);
            if(!c[i][j]) tot++;
        }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=i%2?1:2;j<=m;j+=2){
            if(c[i][j]) continue;
            if(i-2>=1&&j-1>=1&&c[i-2][j-1]==0) adde((i-1)*m+j,(i-3)*m+j-1);
            if(i-2>=1&&j+1<=m&&c[i-2][j+1]==0) adde((i-1)*m+j,(i-3)*m+j+1);
            if(i-1>=1&&j-2>=1&&c[i-1][j-2]==0) adde((i-1)*m+j,(i-2)*m+j-2);
            if(i-1>=1&&j+2<=m&&c[i-1][j+2]==0) adde((i-1)*m+j,(i-2)*m+j+2);
            if(i+2<=n&&j-1>=1&&c[i+2][j-1]==0) adde((i-1)*m+j,(i+1)*m+j-1);
            if(i+2<=n&&j+1<=m&&c[i+2][j+1]==0) adde((i-1)*m+j,(i+1)*m+j+1);
            if(i+1<=n&&j-2>=1&&c[i+1][j-2]==0) adde((i-1)*m+j,i*m+j-2);
            if(i+1<=n&&j+2<=m&&c[i+1][j+2]==0) adde((i-1)*m+j,i*m+j+2);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=i%2?1:2;j<=m;j+=2){
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            if(find((i-1)*m+j)) cnt++;
        }
    }
    printf("%d\n",tot-cnt);
    return 0;
}