题目链接:http://codeforces.com/problemset/problem/900/D

题意:

  给定x,y,问你有多少个数列a满足gcd(a[i]) = x 且 ∑(a[i]) = y。

题解:

  由于gcd(a[i]) = x,所以y一定是x的倍数,否则无解。

  那么原题就等价于:问你有多少个数列a满足gcd(a[i]) = 1 且 ∑(a[i]) = y/x。

  设f(k)为gcd(a[i]) = 1 且 ∑(a[i]) = k时的答案。

  只满足条件∑(a[i]) = k的数列共有2^(k-1)种(隔板法)

  然后要从中去掉gcd不为1的数列。

  每个和为k且gcd不为1的数列a1,对应着一个和为k的因数且gcd为1的数列a2。

  因为a1可以由a2整体放大而来。

  那么也就是f(k) = 2^(k-1) - ∑ f(p),其中p为k的因数(p != k)。

  搜索 + map记忆化即可。

  由于需要用到的f(k),k均为y/x的因数,最多sqrt(y/x)个。

  加上map的log复杂度,所以总复杂度为O(sqrt(n)*log(n))。

AC Code:

 #include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <map>
#define MOD 1000000007 using namespace std; int x,y;
map<int,int> mp; long long quick_pow(long long n,long long k)
{
long long ans=;
while(k>)
{
if(k&) ans=(ans*n)%MOD;
n=n*n%MOD;
k>>=;
}
return ans;
} long long dfs(int i)
{
if(i==) return ;
if(mp.count(i)) return mp[i];
long long ans=quick_pow(,i-);
for(int j=;j*j<=i;j++)
{
if(i%j==)
{
ans=((ans-dfs(j))%MOD+MOD)%MOD;
if(i/j!=j) ans=((ans-dfs(i/j))%MOD+MOD)%MOD;
}
}
ans=((ans-)%MOD+MOD)%MOD;
return mp[i]=ans;
} int main()
{
cin>>x>>y;
cout<<(y%x== ? dfs(y/x) : )<<endl;
}

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