「十二省联考 2019」异或粽子——tire树+堆

题目

【题目描述】

小粽是一个喜欢吃粽子的好孩子。今天她在家里自己做起了粽子。

小粽面前有 $n$ 种互不相同的粽子馅儿，小粽将它们摆放为了一排，并从左至右编号为 $1$ 到 $n$。第 $i$ 种馅儿具有一个非负整数的属性值 $a_i$。每种馅儿的数量都足够多，即小粽不会因为缺少原料而做不出想要的粽子。小粽准备用这些馅儿来做出 $k$ 个粽子。

小粽的做法是：选两个整数数 $l,r$，满足 $1\le l\le r\le n$，将编号在 $[l,r]$ 范围内的所有馅儿混合做成一个粽子，所得的粽子的美味度为这些粽子的属性值的**异或**和。（异或就是我们常说的 $\mathrm{xor}$ 运算，即 C/C++ 中的 `^` 运算符或 Pascal 中的 `xor` 运算符）

小粽想品尝不同口味的粽子，因此它不希望用同样的馅儿的集合做出一个以上的粽子。

小粽希望她做出的所有粽子的美味度之和最大。请你帮她求出这个值吧！

【输入格式】

从标准输入读入数据。

第一行两个正整数 $n,k$，表示馅儿的数量，以及小粽打算做出的粽子的数量。

接下来一行为 $n$ 个非负整数，第 $i$ 个数为 $a_i$，表示第 $i$ 个粽子的属性值。

【输出格式】

输出到标准输出。

输出一行一个整数，表示小粽可以做出的粽子的美味度之和的最大值。

【样例输入】

3 2
1 2 3

【样例输出】

6

【数据范围与提示】

|测试点|$n$|$k$|
|:-:|:-:|:-:|
|$1\sim 8$|$\le 10^{3}$|$\le 10^{3}$|
|$9\sim 12$|$\le 5 \times 10^{5}$|$\le 10^{3}$|
|$13\sim 16$|$\le 10^{3}$|$\le 2 \times 10^{5}$|
|$17\sim 20$|$\le 5 \times 10^{5}$|$\le 2 \times 10^{5}$|

对于所有的输入数据都满足：$1\le n \le 5 \times 10^{5},1\le k\le \min\left\{\frac{n(n-1)}{2},2 \times 10^{5}\right\},0\le a_i \le 4,294,967,295$。

题解

首先考虑在前缀异或和上暴力，$ n^2 $ 找出所有的值，放进堆里，取前 $ k $ 大的即可，效率 $ O(n^2+\log k) $，可以过 $ 60 \% $

显然把 $ x $ 所有能匹配的都找出来是不可能的，于是考虑在 tire 树上贪心

建 $ n $ 棵可持久化 tire 树，然后在 $ [0,i-1] $ 上贪心即可

考虑如何去重

于是我在测试时想到将 $ x $ 贪心对应的最大值的点 $ p $ 挖掉，然后变成两个区间 $ [l,p-1] $ 和 $ [p+1,r] $，找对应点时建一个链表即可（类似《超级钢琴》）

然而这样的常数太大，于是 map TLE，但还有 unorder map 嘛，跑得飞快

其实可以在 tire 树上二分第 $ k $ 大的值，放入堆时记录下是第 $ k $ 大的即可，为什么我没有想到

代码

显然二分是不可能去写的

 #include<bits/stdc++.h>
 #define LL long long
 #define U unsigned
 #include<tr1/unordered_map>
 #define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar())))
 using namespace std;
 LL R(){
     LL x;bool f=;char ch;_(!)if(ch=='-')f=;x=ch^;
     _()x=(x<<)+(x<<)+(ch^);return f?x:-x;}
 const int N=5e5+;
 int n,m,rot[N],tr[N*][],cnt,s[N*][],nex[N];
 LL a[N],sum[N],ans;
 struct node{
     LL w,v;int l,r;
     bool friend operator <(node a,node b){return a.w<b.w;}
 };priority_queue<node> q;
 tr1::unordered_map<LL,int>mp;
 void insert(int &k,int o,LL len,LL v){
     if(!~len)return;
     k=++cnt;
     int f=(v>>len)&;
     tr[k][f^]=tr[o][f^],s[k][f^]=s[o][f^],s[k][f]=s[o][f]+;
     insert(tr[k][f],tr[o][f],len-,v);
 }
 LL query(int k,int o,LL len,LL v){
     if(!~len)return ;
     int f=(v>>len)&;
     if(s[k][f^]-s[o][f^])
         return (1ll<<len)+query(tr[k][f^],tr[o][f^],len-,v);
     else return query(tr[k][f],tr[o][f],len-,v);
 }
 int find(LL x,int l,int r){
     for(int k=mp[x];k;k=nex[k])
         if(k<=r&&k>=l)return k;
     return ;}
 int main(){
     n=R(),m=R();
     insert(rot[],,,);
     for(int i=;i<=n;i++){
         a[i]=R(),sum[i]=sum[i-]^a[i];
         nex[i]=mp[sum[i]],mp[sum[i]]=i;
         insert(rot[i],rot[i-],,sum[i]);
     }
     for(int i=;i<=n;i++){
         LL w=query(rot[i-],,,sum[i]);
         q.push((node){w,sum[i],,i-});
     }
     while(m--){
         node now=q.top();q.pop();ans+=now.w;
         int id=find(now.w^now.v,now.l,now.r);
         if(id->=now.l)q.push((node){query(rot[id-],rot[now.l-],,now.v),now.v,now.l,id-});
         if(now.r>=id+)q.push((node){query(rot[now.r],rot[id+-],,now.v),now.v,id+,now.r});
     }
     cout<<ans<<endl;
     return ;
 }