Miller-Rabin素数测试

Miller-Rabin素数测试

给出一个小于1e18的数，问它是否为质数？不超过50组询问。hihocoder

我是真的菜，为了不误导他人，本篇仅供个人使用。

首先，一个1e18的数，朴素\(O(\sqrt{n})\)素数判定肯定爆炸。怎么办呢？

我们知道，对于素数p，只要a不是p的倍数，一定有\(a^{p-1}=1\mod p\)。那么，我们是不是可以选出某些a，对于要判定的数p，看看他是否满足以a为底的费马小定理，以此来判定质数呢？答案是基本可以。

但是很不巧，有一类合数，以任何小于它们的质数为底进行判定，结果都是正确的。它们叫做伪素数。怎么排除伪素数的情况呢？有个叫做二次探测定理的东西：若\(x^2=1\mod p\)，那么\(或x=1或-1\mod p\)。

假设\(a^{x-1}=1\mod p\)成立。如果x-1为奇数，就不再判定下去。否则，根据二次探测定理，还可以继续去判定\(或a^{\frac{x-1}{2}}=1或-1\mod p\)是否成立。如果它不等于1或-1，就返回false。如果它等于-1，就返回true。如果它等于1，就继续判定下去。反正，只要x-1为偶数，并且\(a^{x-1}=1\mod p\)，就可以一直判定。这样就可以把那些伪素数排除掉了。这就叫做miller-rabin素数测试。据说选前7个质数作为a，在1e18内也只有两三个会被miller-rabin判定成素数的合数。

#include <cstdio>
using namespace std;

typedef long long LL;
const LL m=7, a[m]={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17};
LL n, p;

LL fmul(LL a, LL b, LL p){  //将b分解为二进制，返回a*b%p
    LL ans=0;
    for (; b; b>>=1, a+=a, a%=p)
        if (b&1) ans+=a, ans%=p;
    return ans;
}

LL fpow(LL a, LL x, LL p){
    LL ans=1, base=a;
    for (; x; x>>=1, base=fmul(base, base, p))
        if (x&1) ans=fmul(ans, base, p);
    return ans;
}

bool MR(LL a, LL x, LL p){  //判断是否a^x=1或p-1 (mod p)，且mr下去也成立
    LL t=fpow(a, x, p);
    if (t!=1&&t!=p-1) return false;
    if (t==1&&x&1||t==p-1) return true;
    return MR(a, x>>1, p);
}

bool isprime(LL p){
    if (p&1==0) return false;
    for (LL i=0; i<m; ++i){
        if (p==a[i]) return true;  //互质时费马小定理才成立
        if (fpow(a[i], p-1, p)!=1) return false;
        if (!MR(a[i], (p-1)>>1, p)) return false;
    }
    return true;
}

int main(){
    scanf("%lld", &n);
    while (n--){
        scanf("%lld", &p);
        puts(isprime(p)?"Yes":"No");
    }
    return 0;
}