BZOJ5326 : [Jsoi2017]博弈

将所有物品按照$b$的选择顺序排序，则先手在任意前$i$个物品中最多只能拿走$\lceil\frac{i}{2}\rceil$个物品。

将每个物品的价值设为$a+b$，那么答案为先手拿走的价值和减去所有物品的$b$之和，目标是最大化先手拿走的价值和。

如果不考虑修改，则满足拟阵，可以贪心选取，修改时最优解最多发生一处变动。

每个修改可以看作是先删除一个物品，再插入一个物品。

设$f[i]$表示$[1,i]$里选择的物品数减去$\lceil\frac{i}{2}\rceil$，则方案合法的条件为$\max(f[1,n])\leq 0$。

对于插入物品$x$：

• 如果$x$可以直接加入最优解，那么直接加入。
• 否则加入$x$会导致$f$中出现$1$，那么需要找到一个最优解中的价值最小的物品$y$，满足$y$在$f$从左往右第一个$1$之前，要么不选$x$，要么将$y$替换成$x$。

对于删除物品$x$：

• 如果$x$不在最优解中，那么直接删除。
• 否则删除$x$后可以继续多加入一个物品，那么需要找到一个不在最优解中的价值最大的物品$y$，满足$y$到$n$的所有$f$都是负数。

以上所有操作都可以用线段树维护，时间复杂度$O((n+m)\log n)$。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef pair<int,int>P;
const int N=100010,M=262150,inf=~0U>>1,BUF=10000000;
char Buf[BUF],*buf=Buf;long long ans;
int n,m,i,x,y,pos[N];bool used[N];
P ma[M],mi[M];int f[M],tag[M];
struct E{int a,b,p;}e[N];
inline bool cmp(const E&a,const E&b){
  if(a.b!=b.b)return a.b>b.b;
  return a.p<b.p;
}
inline void read(int&a){for(a=0;*buf<48;buf++);while(*buf>47)a=a*10+*buf++-48;}
inline void up(int x){
  ma[x]=max(ma[x<<1],ma[x<<1|1]);
  mi[x]=min(mi[x<<1],mi[x<<1|1]);
}
void build(int x,int a,int b){
  if(a==b){
    ma[x]=P(-inf,a);
    mi[x]=P(inf,a);
    f[x]=-(a+1)/2;
    return;
  }
  int mid=(a+b)>>1;
  build(x<<1,a,mid),build(x<<1|1,mid+1,b),up(x);
  f[x]=max(f[x<<1],f[x<<1|1]);
}
inline void tag1(int x,int p){f[x]+=p;tag[x]+=p;}
inline void pb(int x){if(tag[x])tag1(x<<1,tag[x]),tag1(x<<1|1,tag[x]),tag[x]=0;}
void maketag(int x,int a,int b,int c,int d,int p){
  if(c<=a&&b<=d){tag1(x,p);return;}
  pb(x);
  int mid=(a+b)>>1;
  if(c<=mid)maketag(x<<1,a,mid,c,d,p);
  if(d>mid)maketag(x<<1|1,mid+1,b,c,d,p);
  f[x]=max(f[x<<1],f[x<<1|1]);
}
void setused(int x,int a,int b,int c,int p){
  if(a==b){
    used[a]=1;
    ma[x]=P(-inf,a);
    mi[x]=P(p,a);
    return;
  }
  int mid=(a+b)>>1;
  if(c<=mid)setused(x<<1,a,mid,c,p);else setused(x<<1|1,mid+1,b,c,p);
  up(x);
}
void setunused(int x,int a,int b,int c,int p){
  if(a==b){
    used[a]=0;
    ma[x]=P(p,a);
    mi[x]=P(inf,a);
    return;
  }
  int mid=(a+b)>>1;
  if(c<=mid)setunused(x<<1,a,mid,c,p);else setunused(x<<1|1,mid+1,b,c,p);
  up(x);
}
int askf(int x,int a,int b,int c,int d){
  if(c<=a&&b<=d)return f[x];
  pb(x);
  int mid=(a+b)>>1,t=-inf;
  if(c<=mid)t=askf(x<<1,a,mid,c,d);
  if(d>mid)t=max(t,askf(x<<1|1,mid+1,b,c,d));
  return t;
}
P askmi(int x,int a,int b,int c,int d){
  if(c<=a&&b<=d)return mi[x];
  int mid=(a+b)>>1;P t(inf,0);
  if(c<=mid)t=askmi(x<<1,a,mid,c,d);
  if(d>mid)t=min(t,askmi(x<<1|1,mid+1,b,c,d));
  return t;
}
P askma(int x,int a,int b,int c,int d){
  if(c<=a&&b<=d)return ma[x];
  int mid=(a+b)>>1;P t(-inf,0);
  if(c<=mid)t=askma(x<<1,a,mid,c,d);
  if(d>mid)t=max(t,askma(x<<1|1,mid+1,b,c,d));
  return t;
}
inline int findfirstpos(){
  int x=1,a=1,b=n,mid;
  while(a<b){
    pb(x);
    mid=(a+b)>>1;
    if(f[x<<1]>0)x=x<<1,b=mid;else x=x<<1|1,a=mid+1;
  }
  return a;
}
inline int findlastneg(){
  int x=1,a=1,b=n,mid,ret=n+1;
  while(a<b){
    pb(x);
    mid=(a+b)>>1;
    if(f[x<<1|1]<0){
      x=x<<1;
      b=mid;
      ret=mid+1;
    }else{
      x=x<<1|1;
      a=mid+1;
    }
  }
  if(f[x]<0)ret=a;
  return ret;
}
inline void additem(int x){
  int val=e[x].a+e[x].b,tmp=askf(1,1,n,x,n);
  maketag(1,1,n,x,n,1);
  if(tmp<0){
    setused(1,1,n,x,val);
    ans+=val;
    return;
  }
  int o=findfirstpos();
  maketag(1,1,n,x,n,-1);
  P y=askmi(1,1,n,1,o);
  if(y.first>=val){
    setunused(1,1,n,x,val);
    return;
  }
  ans+=val-y.first;
  setunused(1,1,n,y.second,y.first);
  maketag(1,1,n,y.second,n,-1);
  setused(1,1,n,x,val);
  maketag(1,1,n,x,n,1);
}
inline void delitem(int x){
  if(!used[x])return;
  ans-=e[x].a+e[x].b;
  setunused(1,1,n,x,-inf);
  maketag(1,1,n,x,n,-1);
  int o=findlastneg();
  if(o>n)return;
  P y=askma(1,1,n,o,n);
  if(y.first<=0)return;
  ans+=y.first;
  setused(1,1,n,y.second,y.first);
  maketag(1,1,n,y.second,n,1);
}
int main(){
  fread(Buf,1,BUF,stdin);read(n);
  for(i=1;i<=n;i++)read(e[i].a);
  for(i=1;i<=n;i++)read(e[i].b),e[i].p=i,ans-=e[i].b;
  sort(e+1,e+n+1,cmp);
  for(i=1;i<=n;i++)pos[e[i].p]=i;
  build(1,1,n);
  for(i=1;i<=n;i++)additem(i);
  printf("%lld\n",ans);
  read(m);
  while(m--){
    read(x),read(y);
    x=pos[x];
    delitem(x);
    e[x].a=y;
    additem(x);
    printf("%lld\n",ans);
  }
  return 0;
}