LuoGu P4996 咕咕咕

题目描述

小 F 是一个能鸽善鹉的同学，他经常把事情拖到最后一天才去做，导致他的某些日子总是非常匆忙。

比如，时间回溯到了 2018 年 11 月 3 日。小 F 望着自己的任务清单：

看 iG 夺冠；

补月赛题的锅。

小 F 虽然经常咕咕咕，但他完成任务也是很厉害的，他一次性可以完成剩余任务的任一非空子集。比如，他现在可以选择以下几种中的一种：

看 iG 夺冠；

补月赛题的锅；

一边看 iG 夺冠的直播，一边补锅。

当然，比赛实在是太精彩了，所以小 F 就去看比赛了。

不过，当金雨从天而降、IG 举起奖杯之时，小 F 突然心生愧疚——锅还没补呢！于是，小 F 的内心产生了一点歉意。

这时小 F 注意到，自己总是在某些情况下会产生歉意。每当他要检查自己的任务表来决定下一项任务的时候，如果当前他干了某些事情，但是没干另一些事情，那么他就会产生一定量的歉意——比如，无论他今天看没看比赛，只要没有补完月赛的锅，他都会在选择任务的时候产生 11 点歉意。小 F 完成所有任务后，他这一天的歉意值等于他每次选择任务时的歉意之和。

过高的歉意值让小 F 感到不安。现在，小 F 告诉你他还有 \(n\) 项任务，并告诉你在 \(m\) 种情况中的一种 \(\mathrm{state}_i\) 的情况下，小 F 会产生 \(a_i\)​ 点歉意。请你帮忙计算一下，小 F 在那一天所有可能的完成所有任务方式的歉意值之和是多少.

由于答案可能很大，你只需要输出答案对 \(998244353\) 取模即可。

输入输出格式

输入格式：

输入一行两个整数 \(n, m\) 表示有 \(n\) 项任务，在 \(m\) 种情况中下小 F 会产生歉意值。

输入接下来 \(m\) 行，每行有一个长度为 \(n\) 的 \(0-1\) 串 $ \mathrm{state}_i $ 和一个歉意值 \(a_i ，\mathrm{state}_{i, j}\) 为 \(0/1\) 表示第 \(j\) 项任务此时没做 / 已经做了。

详情请参考样例和样例解释。

输出格式：

输出一行一个整数，表示小 F 在那一天所有可能的完成任务方式的歉意值之和对 \(998244353\) 取模的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

2 2
00 1
10 1

输出样例#1：

4

输入样例#2：

3 4
000 16
001 9
110 4
111 1

输出样例#2：

260

说明

样例 1 解释：

$ 0−1 $ 串中第一个数字表示小 F 看没看比赛，第二个数字表示小 F 补没补锅。

我们用 $ \varnothing $ 表示小 F 什么都没干，$ A $ 表示小 F 看了比赛，$ B $ 表示小 F 补了锅，那么所有会产生愧疚的方式如下：

\(\varnothing: 1\)

\(\{A\}:1\)

那么所有可能的选择如下：

\(\varnothing\rightarrow\{A\}\rightarrow\{A,B\}:2\)

\(\varnothing\rightarrow\{B\}\rightarrow\{A,B\}:1\)

\(\varnothing\rightarrow\{A,B\}:1\)

所以答案是 \(2 + 1 + 1 = 4\)

数据范围

保证出现的 \(\mathrm{state}_i\)互不相同。

对于所有数据，有 $ 1 \leq n \leq 20, 1 \leq m \leq \min(2 ^ n, 10 ^ 5), 1 \leq a_i \leq 10 ^ 5$

本来想我这种蒟蒻是死活做不出来这种题的,结果听了讲评,最后是个组合数学,然后就差不多了

其实就是让你求从 $ n $ 个 $ 0 $ 到 $ n $ 个 $ 1 $ 的的方案嘛

然后它规定了某些01串有一定的权值,让你算,在上一个问题的基础上这些01串 出现次数*权值 的和

然后就考虑组合数学,因为一个串中如果01个数相同,那么这些串的出现次数也一样对吧

出现 $ i $ 个 $ 1 $ 就是 $ C_{n}^{i} $

设 $ f_i $ 表示出现 $ i $ 个 $ 1 $ 的方案数,有一点需要注意,出现了 $ i $ 个 $ 1 $ 的方案数就是出现了 $ n - i $ 个 $ 0 $ 的方案数

这个东西可以这么来递推：

$ f_i = \sum_{j = 1}^{i} f_{ i - j } \times C_{i}^{j}$

这个就是组合数学的基本意义....解释一下

你有 $ i $ 个 $ 1 $ 了,那么对于每一个 $ 1 $ 的出现次数小于 $ i $ 的状态都对你有贡献

这是第二层循环的由来,那么贡献是多少呢？就是在 $ 1 $ 较少的状态的 $ 0 $ 位填 $ 1 $ 使得它变成另一个状态的方案数

所以贡献是 $ f_{ i - j } \times C_{i}^{j} $

如果一个状态中出现了 $ k $ 个 $ 1 $ , 那么它的答案贡献就是 $ f_i $ 和 $ f_{ n - i } $ 为什么？

一个状态的方案可以用全0串到它的方案和它到全1串的方案作乘法得到(乘法原理)

然后对于每一个有权值的状态统计贡献累加和就行了

代码如下:

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#define LL long long

const int N = 65 ;
const LL mod = 998244353 ;

char s[50];
int n , m , cnt;
LL x , f[N] , Flag ;
LL ans , C[N][N];

inline void init(){
	C[0][0] = 1 ;
	for (int i = 1 ; i <= n + 1 ; ++ i)
		for (int j = 0 ; j <= i ; ++ j)
			C[i][j] = ( C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j] ) % mod ;
	f[0] = 1 ;
	for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
		for (int j = 1 ; j <= i ; ++ j)
			f[i] = ( f[i] + f[i - j] * C[i][j] ) % mod ;
	return ;
}

int main(){
	scanf ("%d%d" , & n , & m ) ; init() ;
	while (m --){
		cnt = 0 ;
		scanf ("%s%lld" , s + 1 , & x );
		for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i) if( s[i] == '1' ) ++ cnt ;
		ans = ( ans + ( ( x * f[cnt] ) % mod * f[n - cnt] ) % mod ) % mod ;
	}
	printf("%lld\n" , ans % mod );
	return 0;
}