【Cf #178 A】Shaass and Lights（组合数）

考虑两个灯之间的暗灯，能从左边或右边点亮两种顺序，而最左端或最右端只有一种点亮顺序。

先不考虑点灯顺序，总共有n - m个灯要点亮，对于连续的一段暗灯，他们在总的点灯顺序中的是等价的，于是问题就可以抽象成有重复元素的组合数：

$ C = \frac{ (n - m)! }{ \prod_{i = 1}^{k} \, x_{i} ! }  $ 。

在考虑一段连续的暗灯内部的点灯顺序，只要让答案乘上 $ 2 ^ {len - 1} $ 即可。

$ \bigodot $ 技巧&套路：

• 组合数应用的模型，组合数的运用

 #include <cstdio>
 #include <algorithm>

 typedef long long LL;
 const int N = , MOD = 1e9 + ;

 int n, m, a[N], d[N], pw2[N], fac[N];

 int Pow(int x, int b, int re = ) {
     for (; b; b >>= , x = (LL) x * x % MOD) if (b & ) re = (LL) re * x % MOD;
     return re;
 }

 int main() {
     scanf("%d%d", &n, &m);
     pw2[] = fac[] = ;
     for (int i = ; i <= m; ++i) {
         scanf("%d", &a[i]);
     }
     for (int i = ; i <= n; ++i) {
         pw2[i] = pw2[i - ] *  % MOD;
         fac[i] = (LL) fac[i - ] * i % MOD;
     }
     std::sort(a + , a +  + m);

     int ans = fac[n - m];
     for (int i = ; i < m; ++i) {
         int d = a[i + ] - a[i] - ;
         if (d == ) continue;
         ans = (LL) ans * Pow(fac[d], MOD - ) % MOD;
         ans = (LL) ans * pw2[d - ] % MOD;
     }
     if (a[] > ) ans = (LL) ans * Pow(fac[a[] - ], MOD - ) % MOD;
     if (a[m] < n) ans = (LL) ans * Pow(fac[n - a[m]], MOD - ) % MOD;
     printf("%d\n", ans);

     return ;
 }