洛咕 P4528 [CTSC2008]图腾

洛咕 P4528 [CTSC2008]图腾

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神题orz。

先约定abcd表示\(1\leq A<B<C<D\leq n\)，而且\(y_a,y_b,y_c,y_d\)的排名正好是\(a,b,c,d\)的方案数

那么所求就是

1324-1243-1432

=(1x2x-1423)-(14xx-1423)-(12xx-1234)

（其中有x的表示排名任意，但是不能重复)

=1x2x-14xx-12xx+1234

=1x2x-1xxx+13xx+1234

预处理\(L,R\)，\(L_i=\sum_{j<i}[y_j<y_i],R_i=\sum_{j>i}[y_j<y_i]\)，可以用树状数组处理

（可以看出，\(L_i+R_i=y_i-1\)，可以只求\(L_i\)就行了；\(n-i-R_i=\sum_{j>i}[y_j>y_i]\)，这是等一下要用到的性质）

分别看怎么求：

1x2x：枚举2的位置\(i\)，那么右边有\(n-i-R_i\)中选法，左边要满足\(j<k<i,y_j<y_i,y_k>y_i\)，1放在j，x放在k的位置

若只考虑\(y_j<y_i\)，有\(L_i*(i-1)\)种选法；那么多算了\(j<k,y_k<y_i\)的和\(j\geq k\)的

\(j<k,y_k<y_i\)的方案数是\(C_{L_i}^2\)

\(j>k\)的方案数，因为此时对\(k\)的限制只有\(k\leq j\)，所以对每个\(j\)都可以取\([1,j]\)，所以就是\(\sum_{p<i,y_p<y_i}p\)

1xxx：很容易，就是\(\sum C_{n-i-R_i}^3\)

13xx：枚举3，那么4有\(n-i-R_i\)种选法，1和2要满足\(j<i<k,y_j<y_k<y_i\)

只考虑\(y_j<y_i,y_k<y_i,j<i\)，有\(L_i(y_i-1)\)种选法，需要减去的是\(k\leq i\)的和\(y_j\geq y_k\)的

\(k\leq i\)的就是\(C_{L_i}^2\)

\(y_j>y_k\)的，此时对\(k\)的限制只有\(y_k\leq y_j\)，所以对每个\(j\)都可以取所有\(y<y_j\)的位置，就是\(\sum_{p<i,y_p<y_i}y_p\)

1234:枚举3，后面的就是\(n-i-R_i\)，前面如果2确定了放在\(j\)位置,1的放法就是\(L_j\)，答案是\(\sum_{i} (n-i-R_i)(\sum_{j<i,y_j<y_i}L_j)\)，树状数组直接做

完结撒FA（逃

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define vd void
#define mod 16777216
typedef long long ll;
il int gi(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-')f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
ll n,p[200010],L[200010],R[200010];
int t[200010];
il vd inc(int&x,int y){x+=y;x%=mod;}
il vd upd(int p,int d){while(p<=n)inc(t[p],d),p+=p&-p;}
il int query(int p){int ret=0;while(p)inc(ret,t[p]),p-=p&-p;return ret;}
int main(){
    n=gi();
    for(int i=1;i<=n;++i)p[i]=gi();
    for(int i=1;i<=n;++i)L[i]=query(p[i]),R[i]=p[i]-1-L[i],upd(p[i],1);
    memset(t,0,sizeof t);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int x=n-i-R[i];
        ans=(ans-(1ll*x*(x-1)*(x-2)/6)%mod+mod)%mod;//1xxx
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)ans=(ans+(n-i-R[i])*query(p[i]))%mod,upd(p[i],L[i]);//1234
    memset(t,0,sizeof t);
    for(int i=1;i<=n;++i)ans=(ans+(L[i]*(i-1)-query(p[i])-L[i]*(L[i]-1)/2)*(n-i-R[i])%mod+mod)%mod,upd(p[i],i);//1x2x
    memset(t,0,sizeof t);
    for(int i=n;i;--i)ans=(ans+(query(p[i])-R[i]*(R[i]+1)/2)*(n-i-R[i])%mod+mod)%mod,upd(p[i],p[i]);//13xx
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}