[BZOJ 1221] [HNOI2001] 软件开发 【费用流 || 三分】

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题目分析

算法一：最小费用最大流

首先这是一道经典的网络流问题。每天建立两个节点，一个 i 表示使用毛巾，一个 i' 表示这天用过的毛巾。

然后 i 向 T 连 Ai （第 i 天需要的毛巾数）。从 S 向 i' 连 Ai ，这样这天新增的用过的毛巾就是 Ai 了。

然后 i' 可以连向 (i+1)' ，表示留到下一天再处理，i' 还可以流向 i+p+1 和 i+q+1，表示洗了之后再次使用，这两种边是有费用的。

还有就是新购买毛巾，从 S 向 i 连，费用就是买新毛巾的费用。

这样，使用最小费用最大流就可以解决这道题了。

算法二：三分

然而这道题目有一个神奇的做法，速度远远快于费用流的解法。

我发现提交记录里 faebdc 神犇的代码速度极其快，于是我就向他请教，他告诉我这道题是集训队作业里的一道..那道题目的数据范围是 n <= 10^5 ... 我只能Orzzz。

在 faebdc 神犇的光辉照耀下，我终于似懂非懂写出了这个三分的代码..

首先，如果已经确定要购买多少毛巾，一定一开始就先购买这些毛巾是最优的。然后之后的每天一定先使用没用过的，再使用花费少的洗涤方式，再使用花费多的洗涤方式。

这样，使用一个队列就可以 O(n) 计算出购买 x 条毛巾时的最少花费了，记为 f(x) 。

然后..重点是.. 可以分析出 f(x) 是一个单谷的函数，可以三分 x 。（怎么分析出的呢= = faebdc 神犇讲解了一下然后我太弱听不懂...

然后就可以愉快地三分了..　

代码

费用流代码：

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int MaxN = 1000 + 5, INF = 999999999;

inline int gmin(int a, int b) {return a < b ? a : b;}
inline int gmax(int a, int b) {return a > b ? a : b;}

int n, p, q, f, fp, fq, S, T, Tot, MinCost, MaxFlow;
int d[MaxN * 2];

bool InQue[MaxN * 2];

struct Edge
{
	int u, v, w, Ct;
	Edge *Next, *Other;
} E[MaxN * 12], *P = E, *Point[MaxN * 2], *Pre[MaxN * 2]; 

inline void AddEdge(int x, int y, int z, int k)
{
	Edge *Q = ++P; ++P;
	P -> u = x; P -> v = y; P -> w = z; P -> Ct = k;
	P -> Next = Point[x]; Point[x] = P; P -> Other = Q;
	Q -> u = y; Q -> v = x; Q -> w = 0; Q -> Ct = -k;
	Q -> Next = Point[y]; Point[y] = Q; Q -> Other = P;
}

queue<int> Q;

bool Found()
{
	memset(d, 0x7f, sizeof(d));
	memset(InQue, 0, sizeof(InQue));
	while (!Q.empty()) Q.pop();
	d[S] = 0; InQue[S] = true; Q.push(S);
	int x;
	while (!Q.empty())
	{
		x = Q.front(); InQue[x] = false; Q.pop();
		for (Edge *j = Point[x]; j; j = j -> Next)
			if (j -> w && d[x] + j -> Ct < d[j -> v])
			{
				d[j -> v] = d[x] + j -> Ct;
				Pre[j -> v] = j;
				if (!InQue[j -> v])
				{
					InQue[j -> v] = true;
					Q.push(j -> v);
				}
			}
	}
	return d[T] < INF;
}

void Augment()
{
	int Flow = INF;
	for (Edge *j = Pre[T]; j; j = Pre[j -> u]) Flow = gmin(Flow, j -> w);
	for (Edge *j = Pre[T]; j; j = Pre[j -> u])
	{
		j -> w -= Flow;
		j -> Other -> w += Flow;
	}
	MaxFlow += Flow;
	MinCost += Flow * d[T];
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d%d%d%d", &n, &p, &q, &f, &fp, &fq);
	int Num;
	Tot = n * 2; S = ++Tot; T = ++Tot;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		scanf("%d", &Num);
		AddEdge(S, i, Num, f);
		AddEdge(i, T, Num, 0);
		AddEdge(S, n + i, Num, 0);
	}
	for (int i = 1; i < n; ++i)
	{
		AddEdge(n + i, n + i + 1, INF, 0);
		if (i + p + 1 <= n) AddEdge(n + i, i + p + 1, INF, fp);
		if (i + q + 1 <= n) AddEdge(n + i, i + q + 1, INF, fq);
	}
	while (Found()) Augment();
	printf("%d\n", MinCost);
	return 0;
}

三分代码：

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

inline void Read(int &Num)
{
	char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
	Num = c - '0'; c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9')
	{
		Num = Num * 10 + c - '0';
		c = getchar();
	}
}

const int MaxN = 1000 + 5, INF = 999999999;

inline int gmin(int a, int b) {return a < b ? a : b;}

int n, p, q, f, fp, fq, SumA, Head, Tail;
int A[MaxN], Q[MaxN][2], Ans;

int Calc(int x)
{
	int ret, Cnt, Rest;
	Head = 1; Tail = 0;
	Rest = x;
	ret = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		if (i - p - 1 > 0)
		{
			Q[++Tail][0] = i - p - 1;
			Q[Tail][1] = A[i - p - 1];
		}
		if (Rest >= A[i]) Rest -= A[i];
		else
		{
			Cnt = A[i] - Rest;
			Rest = 0;
			while (Cnt > 0 && Head <= Tail)
			{
				if (Q[Head][0] <= i - q - 1)
				{
					if (Q[Head][1] > Cnt)
					{
						ret += Cnt * fq;
						Q[Head][1] -= Cnt;
						Cnt = 0;
					}
					else
					{
						ret += Q[Head][1] * fq;
						Cnt -= Q[Head][1];
						++Head;
					}
				}
				else
				{
					if (Q[Tail][1] > Cnt)
					{
						ret += Cnt * fp;
						Q[Tail][1] -= Cnt;
						Cnt = 0;
					}
					else
					{
						ret += Q[Tail][1] * fp;
						Cnt -= Q[Tail][1];
						--Tail;
					}
				}
			}
			if (Cnt > 0) return INF;
		}
	}
	ret += f * x;
	return ret;
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d%d%d%d", &n, &p, &q, &f, &fp, &fq);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		Read(A[i]);
		SumA += A[i];
	}
	int l = 1, r = SumA, mid1, mid2;
	while (r - l >= 3)
	{
		mid1 = l + (r - l) / 3;
		mid2 = r - (r - l) / 3;
		if (Calc(mid1) < Calc(mid2)) r = mid2 - 1;
		else l = mid1 + 1;
	}
	Ans = INF;
	for (int i = l; i <= r; ++i) Ans = gmin(Ans, Calc(i));
	printf("%d\n", Ans);
	return 0;
}