算法打基础——HashTable

这一节主要讲很多方面非常重要的hash table等问题. 由于平时很少用到这些，基本都忘了。。。

怎样快速的在内存中插入、删除、和搜索呢？ 这就需要哈希表了

这一节主要知识点是：1 简单的映射表和处理冲突方法     2.哈希函数的选择     3.开放寻址法(高级解决冲突方案)

1 简单的映射表和处理冲突方法

哈希表希望解决的一个典型问题是编译器内部的符号表，它的结构是：

每个记录有一个指针x指向这个记录，key[x]就是这个记录的关键字，然后后面就是一些具体数据。

如果我们想方便得进行增删查操作，这些数据应该如何组织呢？

最简单的方法：直接寻址表

这个方法当键值得范围相对较小的时候还是能够很好工作的。假设key都是从集合U{0,1,..,m-1}中得到的。

则可以建立一个表，T[0.. m-1]

简而言之，这个表就是当k=i时，就将其放在表T中第i个位置。表的其他位置留空就行了：如下图

直接寻址法有一个明显的问题，当U的范围很大时，就必须维持一个非常大的表，且实际上用到的可能很少！

而哈希表采用的另一种方法，它通过一个hash函数来映射k值(上面那个方法可以看做identical

mapping的函数)。 但是，这样就会出现不同键映射到相同槽内的方法，那应该怎么处理呢？

这里再给出一个简单方法：通过链表解决

这种方法最差情况就是所有元素都映射到了同一个槽里面，时间就是Θ(n),其实就是建了个链表

下面分析一下平均情况下链表法的性能，顺便引入一些概念：

做假设 哈希函数是简单均匀哈希(simple-uniform hashing)，即每个键k 等可能的被hash到表T中的每个槽中，

且与其他键被哈希到什么位置无关

设n是表中key的个数，m是表槽的个数，定义表T的负载因子(load factor):

α = n/m = 平均每个槽中被映射的key的数量

然后给定key后，搜索成功与否的期望时间都是Θ(1+α)

2.哈希函数的选择

怎样选择一个好的hash函数呢？我们期望它具有的性质有下面两点：

• 一个好的hash函数应该能够将keys均匀的映射到表的槽内
• 键值的分布特性应该不影响这种均匀性质

选择的策略主要有两种：除法散列法  乘法散列法

除法散列法： 定义hash函数为 h(k) = k mod m

这种方法也有很多需要注意的： 不要选有很小除数的m. 比如如果选m是个偶数，假设所有的键值都是偶数的情况下，

那么所有的映射结果都只会在偶数槽呢，非常浪费，也违背了上面好的hash函数属性的第二条

另一个极端例子:假设m=2^r,就是因子全都是最小的除数。如果k=1011000111011010，r-6,那么映射的结果

就是k的最后6位，这甚至都没有利用k的全部信息

所以这个方法中选择m的原则就是m选为质数且不能太接近2或者10的幂次

乘法散列法：设m=2^r, 计算机是w-bit 长的字，然后定义哈希函数是

h(k) = (A*k mod 2^w) rsh (w-r)

其中A是一个在（2^w-1, 2^w）范围内的奇数。

我们来分析这个哈希函数(A*k mod 2^w)这一部分就是将乘法得到的结果只取一个字长 ，然后再

rsh w-r位，就刚好只保留了最大是m的结果，可以很好的映射到表中.

假设m=2^3, 字长w是7-bit ,考虑那个乘法过程：

这就像一个幸运大转轮一样，将A转k圈，得到最后的一个结果：

3.开放寻址法

所谓开放寻址法就是没有任何元素时存储在哈希表之外的。 那个当冲突发生时，开放寻址法通过一个探查(Probe)策略不断寻找表中的空槽

探查策略主要包括两种：线性探查   双哈希探查

线性探查使用的哈希函数时：

h(k,i) = (h(k,0)+i)mod m

简单来说，就是原始哈希函数如果映射到一个已经有元素的位置，就直接探查下一个，知道找到空槽。

但是这种方法会出现primary clustering: 某一块会被依次填满，导致映射到那一块时探查时间很长

双哈希探查的哈希函数是：

h(k,i) = (h1(k)+ i*h2(k))mod m

即使用两个哈希函数，当第一次哈希出现冲突时，使用第二个哈希函数做探查，直到找到空槽。

这种方法一般效果很好，但是h2(k)必须和m互质

下面对开放寻址法进行分析：

首先我们假设均匀哈希： 每个key的探查序列等可能的是m!种排列中的任意一种

定理：给定一个开放寻址的哈希表，负载因子α=n/m<1, 则不成功搜索时期望的探查次数最多是1/(1-α)

Proof:  第一次探查是有的，然后发生冲突的概率是n/m，发生冲突后就需要第二次探查了，第二次探查的

概率是(n-1)/(m-1),如此重复下去。

而我们知道n-i/m-1 < n/m =α ，所以我们有 探查的期望次数是：

1+n/m(1+n-1/m-1(1+n-2/m-2(....(1+1/n-m+1)...))

≤ 1+ α(1+α(1+α(...(1+α)...))

≤1+α²+α³+....

=\( \sum_{i=0}^{INF} \alpha^i \)

=1/1-α

因为α是常数，则寻址次数也就是一个常数了。但要注意所谓的常数，比如表示半满的，则期望探查此时就是

1/(1-0.5)=2 。 当90%满时，期望探查次数就是1/(1-0.9)=10