Codeforces 1249E By Elevator or Stairs? 题解

这题其实和 NIKKEI 2019-2-D Shortest Path on a Line 差不多的啦，都是一种最短路的变形，把多个点和边关联了起来。

题面

你要从一楼到 \(n\) 楼去，每层楼可以选择坐电梯和走楼梯，第 \(i\) 和 \(i+1\) 层之间的楼梯花费 \(a_i\) 时间，而电梯花费 \(b_i\) 时间，而且进出电梯有个时间成本 \(c\)。

那么显然，从 \(x\) 楼到 \(y\) 楼走楼梯的花费是 \(\sum\limits_{i=min(x, y)}^{max(x, y) - 1} a_i\)，坐电梯的花费是 \(c + \sum\limits_{i=min(x, y)}^{max(x, y) - 1} b_i\)（这里直接把 CF 上面的式子抄过来了）。

题解

首先有以下结论：

(1) 从底到顶的最短距离是单调递增的

因为整个上楼的操作是连续的，假如有一个从一楼到 \(p_2\) 楼的最短路比一楼到 \(p_1\) 楼的最短路要短（其中 \(p_1<p_2\)），那么就逆推回去（注意此处不是坐电梯或走楼梯下楼，是逆推），就变成了从 \(p_2\) 上减去一定的时间，显然此时一定会比 \(p_2\) 小。

(2) 到达每层楼的最短路径长度不需要从比它高的楼推出

结论 (1) 中为了证明单调递增，使用了从楼上推回楼下的做法，实际操作中并没有必要，因为由单调递增可知如果是从楼上再下来（不是逆推）必定比楼下上来时间长，因此结论得证。

由以上结论可以得到一个解法，即用线段树维护下面各层楼到这层楼坐电梯和走路的时间加上一楼到该层楼的时间，然后在每层楼选取一个最优的方案上来即可，注意储存坐电梯上来时的花费减去 \(c\)，防止多段连续的电梯乘坐。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ls pos<<1
#define rs (pos<<1)+1
#define MID (tree[pos].l+tree[pos].r)>>1
const int MAXN=2e5+5;
struct Tree{int l,r;long long val,lazy;};
int n,c;long long s[MAXN],e[MAXN];
struct SegTree
{
	Tree tree[MAXN*4];
	void BuildTree(int l,int r,int pos)
	{
		tree[pos].l=l;tree[pos].r=r;tree[pos].val=4e9+7;
		if(l==r) return;
		int mid=MID;
		BuildTree(l,mid,ls);BuildTree(mid+1,r,rs);
	}
	void DownReload(int pos)
	{
		if(tree[pos].lazy)
		{
			tree[ls].lazy+=tree[pos].lazy;
			tree[rs].lazy+=tree[pos].lazy;
			tree[ls].val+=tree[pos].lazy;
			tree[rs].val+=tree[pos].lazy;
			tree[pos].lazy=0;
			return;
		}
	}
	void UpReload(int pos){tree[pos].val=std::min(tree[ls].val,tree[rs].val);}
	void SegUpdate(int l,int r,long long delta,int pos)//ADD value
	{
		if(l<=tree[pos].l&&r>=tree[pos].r)
		{
			tree[pos].val+=delta;
			tree[pos].lazy+=delta;
			return;
		}
		DownReload(pos);
		int mid=MID;
		if(r<=mid) SegUpdate(l,r,delta,ls); else if(l>mid) SegUpdate(l,r,delta,rs); else {SegUpdate(l,mid,delta,ls);SegUpdate(mid+1,r,delta,rs);}
		UpReload(pos);
	}
	void PtUpdate(int target,long long delta,int pos)//SET value
	{
		if(tree[pos].l==tree[pos].r)
		{
			tree[pos].val=delta;
			return;
		}
		DownReload(pos);
		int mid=MID;
		if(target<=mid) PtUpdate(target,delta,ls); else PtUpdate(target,delta,rs);
		UpReload(pos);
	}
	long long Query(int l,int r,int pos)
	{
		if(l==tree[pos].l&&r==tree[pos].r) return tree[pos].val;
		DownReload(pos);
		int mid=MID;
		if(r<=mid) return Query(l,r,ls); else if(l>mid) return Query(l,r,rs); else return std::min(Query(l,mid,ls),Query(mid+1,r,rs));
	}
};
SegTree elv,stair;
int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&c);
	for(int i=2;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&s[i]);
	for(int i=2;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&e[i]);
	printf("0 ");
	elv.BuildTree(1,n,1);
	stair.BuildTree(1,n,1);
	elv.PtUpdate(1,0,1);
	stair.PtUpdate(1,0,1);
	long long re,rstr,min;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		elv.SegUpdate(1,i-1,e[i],1);
		re=elv.Query(1,i-1,1)+c;
		stair.SegUpdate(1,i-1,s[i],1);
		rstr=stair.Query(1,i-1,1);
		if(re<rstr)
		{
			elv.PtUpdate(i,re-c,1);
			stair.PtUpdate(i,re,1);
			printf("%lld ",re);
		}
		else
		{
			elv.PtUpdate(i,rstr,1);
			stair.PtUpdate(i,rstr,1);
			printf("%lld ",rstr);
		}
	}
	return 0;
}