最大子矩阵和（二维矩阵转一维DP）

题目描述

蒜头君拿到了一个矩阵，他想知道其中的最大非空子矩阵和是多少。

输入格式

第一行输入两个整数 n,m代表这个矩阵的行数和列数。接下来n行，每行m个整数 a_i1,a_i2,a_i3⋯a_im。(1≤m,n≤400,−10⁹≤a_ij≤10⁹)

输出格式

输出一个整数，代表最大非空子矩阵和，占一行。

样例输入

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样例输出

与最大子段和类似，不过上升到了二维，那么我们可以通过枚举上下边界将题目转化为一维的，通过前缀和又可以快速算出固定一列从一行到某一行所有数的和。

 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #include <iostream>
 #include <string>
 #include <math.h>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <stack>
 #include <queue>
 #include <set>
 #include <map>
 #include <sstream>
 const int INF=0x3f3f3f3f;
 typedef long long LL;
 const int mod=1e9+;
 const double PI = acos(-);
 const double eps =1e-;
 #define Bug cout<<"---------------------"<<endl
 const int maxn=1e5+;
 using namespace std;

 LL sum[][];//sum[j][i]表示第j列前i行的前缀和
 LL MAX=-INF;//别忘了初始化 

 int main()
 {
     int n,m;
     scanf("%d %d",&n,&m);
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         for(int j=;j<=m;j++)
         {
             LL x;
             scanf("%lld",&x);
             MAX=max(MAX,x);
             sum[j][i]=sum[j][i-]+x;
         }
     }
     if(MAX>=)//如果MAX小于零则直接输出即可
     {
         for(int i=;i<=n;i++)//i为矩阵上边界
         {
             for(int k=i;k<=n;k++)//k为矩阵下边界
             {
                 long long t=;//和
                 for(int j=;j<=m;j++)//一维最大子段和(利用列的前缀和快速计算)
                 {
                     if(t+sum[j][k]-sum[j][i-]<) t=;
                     else t+=sum[j][k]-sum[j][i-];
                     MAX=max(MAX,t);
                 }
             }
         }
     }
     printf("%lld\n",MAX);
     return ;
 }

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