闲话 4.12——对 Worpitzky 恒等式的几个证明

\[\sum_{i}\left\langle\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right\rangle \binom{i+k}{n}=k^n
\]

通俗的证明（具体数学的习题 6.15）是使用归纳法。

我们也可以对后面几个式子用二项式反演证明，而有如下过程：

\[\begin{aligned}
z^n&=\sum_{i=0}^n{n\brace i}z^\underline i\\
&=\sum_{i=0}^n\binom {z}i{n\brace i}i!\\
&=\sum_{i=0}^n\binom{z}i\sum_{k=n-i}^n
\left\langle\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right \rangle\binom k {n-i}\\
&=\sum_{k=0}^n\left \langle\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right \rangle\sum_{i=n-k}^n\binom {z}i\binom k {n-i}\\
&=\sum_{k=0}^n\left \langle\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right \rangle\binom {z+k}n
\end{aligned}\]

我们也可以组合意义证明。考虑在 \(n\) 阶排列插入 \(k\) 个，其中每个上升，包括开头，都必须有。

这个数目应该是 \(k^n\)。我们把原来的东西 \(n\) 分成了 \(k\) 个段。并且这些段是递增的（在字典序下）。我们随便把元素插进段里然后对段排序就得到了分段。

同时，枚举上升个数：

\[\sum_i \left\langle\begin{matrix}n\\k-i\end{matrix}\right\rangle \binom{n+i}{n}
\]

如果有 \(k-i\) 个上升，那么有 \(i\) 个是自由的。插板。

而：

\[\sum_i \left\langle\begin{matrix}n\\k-i\end{matrix}\right\rangle \binom{n+i-1}{n}\\
=\sum_i \left\langle\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right\rangle \binom{n+k-i-1}{n}\\
=\sum_i \left\langle\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right\rangle \binom{k+i}{n}\]

证毕。