Acwing 403. 平面

以一个这个环为基准，剩下的边可以放在圈外，也可以放在圈内，两种状态。

如果两条线段出现了环上意义的交叉即冲突，即不能同时放在圈外/内。

这是典型的 2-SAT 问题，因为关系传递是无向的，即逆命题与原命题都存在，用并查集维护即可。

关于判断两条线段是否出现了环上意义的交叉：

枚举两条边 \((x_1. y_1), (x_2, y_2)\)，如果\(x_2, y_2\) 中的一个在线段所属环的内部，一个在外部，那么肯定分居两侧。

枚举的复杂度是 \(O(TM^2)\) （严格来说要加并查急的复杂度。。）然而直接AC了，这再次告诉我们了 \(O(1e10)\) 不是梦，所以数据过水。

看到 \(std\) 还有个剪枝，就是一个平面图一定满足一个性质：

\(m <= 3n - 6\)，不符合直接输出 \(NO\)，所以可以把 \(m\) 控制在 \(300\) 左右，这样就跑的动了。

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感性证明一下这个性质：

考虑构造最大边数的平面图，而没有重边（题目限制）

目前有一个环，在圈内然后任意找一个点，向除了自己和相邻的点连 \(n - 3\) 条边。在圈外找之前那个点的相邻点，然后向除了自己和相邻的点连 \(n - 3\) 条边，这时候无论连什么边必然相交，所以最大边数就是 \(3n - 6\)。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N = 205, M = 10005;
typedef pair<int, int> PII;
int n, m, a[N], pos[N], f[M << 1];
PII e[M];
int get(int a, int b, int c) {
    a = pos[a], b = pos[b], c = pos[c];
    if (a > b) swap(a, b);
	return (a < c && c < b) ? 0 : 1;
}
int find(int x) {
	return x == f[x] ? x : f[x] = find(f[x]);
}
bool check() {
	for (int i = 1; i <= m; i++) if (find(i) == find(i + m)) return false;
	return true;
}
int main() {
	int T; scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		scanf("%d%d", &n, &m);
		for (int i = 1; i <= 2 * m; i++) f[i] = i;
		for (int i = 1; i <= m; i++) {
			scanf("%d%d", &e[i].x, &e[i].y);
		}
		for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", a + i), pos[a[i]] = i;
		if (m > 3 * n - 6) { puts("NO"); continue; }
		for (int i = 1; i <= m; i++) {
			for (int j = i + 1; j <= m; j++) {
				if (e[i].x == e[j].x || e[i].x == e[j].y || e[i].y == e[j].x || e[i].y == e[j].y) continue;
				if (get(e[i].x, e[i].y, e[j].x) != get(e[i].x, e[i].y, e[j].y)) {
					f[find(i)] = find(j + m), f[find(i + m)] = find(j);
				}
			}
		}
		puts(check() ? "YES" : "NO");
	}
}