P5035金坷垃题解(快速幂的讲解)
首先经过读题,我们发现找到合格的金坷垃,怎么样的金坷垃才是合格的呢?(我们不难发现1肯定是合格的【题目已经给出了】)
然后我们开始手推一下之后合格的金坷垃:
2-1=1(合格)
3-1-1=1(不合格(1重复减了))
4-2-1=1(合格)
......
对于任意一个数,他减去他的任意一个约数(除它本身)最小值都为他本身的1/2,我们可以考虑倒着推回去这样就行了,发现合格的金坷垃必须是2的倍数,我们可以用反证法来证明,如果一个合格的金坷垃不是二的倍数,那么最后经过前面的相减肯定会变成一个质数。
一个质数的约数(除它本身)只有1,但我们用一个数只能用一次,那么这个金坷垃就不是一个合格的金坷垃
如90:
90-45=45;
45-15=30;
30-10=20;
20-5=15;
15-3=12;
12-6=6;
6-3=3;
最后剩下了3(质数)【这个各位可以自己推一下】
1;
1+1=2;
1+1+2=4;
1+1+2+4=8;
1+1+2+4+8=16;
......
不难发现第i个合格的金坷垃就是2的i-1次方,这样我们就可以用快速幂来解决了
直接用快速幂模板就能过了!
#include<bits/stdc++.h>//万能头
using namespace std;
const int mod=123456789;//要mod的值
long long n;
long long qmi(long long x,long long k){//快速幂模板
long long res=1;
while(k>0){
if(k&1){
res=res*x%mod;
}
x=x*x%mod;
k>>=1;
}
return res;
}
int main(){
cin>>n;
cout<<(qmi(2,n-1)%mod+mod)%mod<<endl;//输出2的n-1次方,(qmi(2,n-1)%mod+mod)%mod是防负数的,但这个没有负数就可以不用写
return 0;//结束程序
}
根据这个题目我们可以引出快速幂了:
顾名思义,快速幂就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 O(log₂N), 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。这就可以让我们不用担心t掉了。
- 优势:
- 时间复杂度为 O(log₂N), 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高
- 用法:
- 指数为奇数,ans=ans*底数,底数平方,指数右移一位(除以2向下取整)
- 指数为偶数,ans不变,底数平方,指数右移一位(除以2)
int qmi(int m, int k, int p)
{
int ans = 1 % p, t = m;
while (k)
{
if (k&1) ans = ans * t % p;//如果指数是奇数的话,ans=ans*底数t
t = t * t % p;//底数平方(无论指数是奇数还是偶数都要平方)
k >>= 1;//指数右移一位(除以2或者向下取整)
}
return res;
}
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