HYSBZ-1045 糖果传递

有n个小朋友坐成一圈，每人有ai个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为1。

假设当所有人获得均等的糖果的时候:

1. 每个人手上的糖果的数量为\(ave\)

2. 第\(i\)个人初始时的糖果数量为\(A_i\)

3. 第\(i\)个人给了前一个人\(X_i\)个糖果(如果\(X_i\)是负数,代表前一个人实际上的给了第\(i\)个人\(X_i\)个糖果)

那么对于每个人,都满足等式

\[A_i-X_i+X_{(i+1)\%n}=ave
\]

然后可以列出n条等式

\[A_0-X_0+X_1=ave\\
A_1-X_1+X_2=ave\\
...\\
A_{n-1}-X_{n-1}+X_0=ave\\
\]

最终的答案应该是\(\sum_{i=0}^{n-1}|X_{i}|\)

实际上以上的其中一条等式能够由其他的\(n-1\)条等式得到.

不同的等式只有\(n-1\)条,未知数有\(n\)个,不能直接解.

假设\(X_0\)是已知的值,可以推出所有的\(X\)的值

\[X_1=ave-A_0+X_0=X_0-(A_0-ave)\\
X_2=ave-A_1+X_1=X_1-(A_1-ave)=X_0-(A_0-ave)-(A_1-ave)\\
...\\
X_{n-1}=X_0-\sum_{i=0}^{n-2}(A_i-ave)
\]

定义\(C_k=C_{k-1}-(A_i-ave)\)

那么\(|X_k|=|X_0-C_k|\)

如何让\(\sum_{i=0}^{n-1}|X_{i}|\)变得尽量小,

可以发现,\(|X_0-C_k|\)可以看作是数轴上\(X_0\)和\(C_k\)的距离,

把\(X_0\),\(C_1\),\(C_2\),...,\(C_{n-1}\),都列在一条数轴上,

找到其中的一个点,让这个点到其他所有的点的距离的和最小.

显然,这几个点之中最靠中间的点,就是到其他所有点的距离的和最小的点.

那么这个距离的和就是答案

应该如何假设\(X_0\)的值?

\(X_0\)的含义是第\(0\)个人给第\(n-1\)个人的糖果的数量.

实际上,从第二个人开始,每人给前一个人\(X_i\)个糖果,到最后第\(n-1\)个人手上的糖果数就应该是\(ave\)了.

所以\(X_0\)应该是\(0\).

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;

static ll n, sum, ave, mid, ans, a[1100100], c[1100100];

int main()
{
    scanf("%lld", &n);
    for(ll i = 0; i < n; ++i)
    {
        scanf("%lld", &a[i]);
        sum += a[i];
    }
    ave = sum/n;

    c[0] = 0;
    for(int i = 1; i < n; ++i)
    {
        c[i] = c[i-1]+a[i]-ave;
    }

    sort(c, c+n);
    mid = c[n/2];
    for(int i = 0; i < n; ++i)
        ans += abs(c[i] - mid);
    printf("%lld\n", ans);
}