Codeforces 892C/D

C. Pride

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本题是一个关于序列的数学问题——最大公约数（GCD）。

对于一个长度为n的序列A={a[i]|i=1,2,...,n}，有以下操作：选定序列中的两个相邻元素，记为x和y，将其中一个替换成gcd(x,y)。这个序列是否可以在有限步操作后，变成一个所有元素均为1的序列？若可行，则求最小操作步数；否则返回-1。

首先考虑可行性：若gcd{a[i]|i=1,2,...,n}=1，则可行；否则不可行。

之后，考虑每一个元素的情况：记cnt=card{i|a[i]=1}，则当cnt>0时，ans=n-cnt。

之后，考虑每一段区间l~r(l<r)上的情况：记g(l,r)=gcd{a[i]|i=l,...,r}，则有以下递推关系式：g(l,r+1)=gcd(g(l,r),a[r+1])。若存在l<r，使得g(l,r)=1，令d=r-l，则有操作步数step=n+d-1。

注意这个操作步数的计算。在当前情况下，首先在区间l~r上构造出一个元素1：d步；再用这个1与其他元素作GCD运算：n-1步。于是总操作步数为step=n+d-1。

于是，枚举l、r，求最小的d=r-l即可。时间复杂度为O(n²)。参考程序如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX_N 2000
#define INF 0xffff

int a[MAX_N];

int gcd(int x, int y)
{
    if (y == ) return x;
    return gcd(y, x % y);
}

int main(void)
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int cnt = ;
    for (int i = ; i < n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        if (a[i] == ) cnt++;
    }
    if (cnt) {
        printf("%d\n", n - cnt);
        exit();
    }
    int d = INF;
    for (int i = ; i < n; i++) {
        int g = a[i];
        for (int j = i + ; j < n; j++) {
            g = gcd(g, a[j]);
            if (g ==  && j - i < d) d = j - i;
        }
    }
    if (d != INF) printf("%d\n", n + d - );
    else printf("-1\n");
    return ;
}

D. Gluttony

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本题是一个关于序列的数学问题——重排问题。

给定由n个不同元素组成的序列A={a[i]|i=1,2,...,n}，试将其重排为序列B={b[i]|i=1,2,...,n}，使得对于任意一个{1,2,...,n}的非空真子集S，有$\sum_{i\in S}a[i] \neq\sum_{i\in S}b[i]$。

首先考虑一个特殊的情形：序列A是上升的。此时，只要将A循环左移一位，即得到满足条件的序列B。这个序列B的通项为b[i]=a[i%n+1]，i=1,2,...,n。下证之：

由于序列B由序列A重排而来，因此$\sum_{i=1}^{n}a[i] =\sum_{i=1}^{n}b[i]$，记这个和为X。

对于i=1,2,...,n-1，有b[i]=a[i+1]>a[i]；此外，有b[n]=a[1]<a[n]。

于是，①若n不是集合S中的元素，则显然有$\sum_{i\in S}a[i] <\sum_{i\in S}b[i]$；

②若n是集合S中的元素，则记集合T={1,2,...,n}-S，则n不是集合T中的元素，因此有$\sum_{i\in T}a[i] <\sum_{i\in T}b[i]$。于是，$\sum_{i\in S}a[i] =X-\sum_{i\in T}a[i] >X-\sum_{i\in T}b[i] =\sum_{i\in S}b[i]$。

综上所述，对于任意一个{1,2,...,n}的非空真子集S，有$\sum_{i\in S}a[i] \neq\sum_{i\in S}b[i]$。

循环移位操作是{1,2,...,n}上的一个变换，记为G:g(i)=i%n+1。

于是，对于一个有序的A，进行简单的循环移位操作。而对于一个无序的A，则考虑先排序。

设f(i)表示序列A中第i小的元素在A中的位置，即A中第i小的元素为a[f(i)]。于是，可将F:f(i)看作{1,2,...,n}上的一个变换。变换F可以通过排序构造，时间复杂度为O(nlogn)~O(n²)。

如此，设序列C={a[f(i)]|i=1,2,...,n}，则C是一个上升序列，通项为c[i]=a[f(i)]，i=1,2,...,n。于是，可以对C进行循环移位，生成序列D。则D的通项为d[i]=c[i%n+1]=a[f(i%n+1)]。

由于C=F(A)，D=G(C)，故所求序列B满足D=F(B)。由式D=F(B)，有b[f(i)]=d[i]=a[f(i%n+1)]。

参考程序如下：

#include <stdio.h>
#define MAX_N 22

int a[MAX_N], b[MAX_N], f[MAX_N];

int main(void)
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = ; i < n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        f[i] = i;
    }
    for (int i = ; i < n; i++) {
        for (int j = ; j < i; j++) {
            if (a[f[i]] < a[f[j]]) {
                int t = f[i];
                f[i] = f[j];
                f[j] = t;
            }
        }
    }
    for (int i = ; i < n; i++)
        b[f[i]] = a[f[(i + ) % n]];
    for (int i = ; i < n; i++)
        printf("%d ", b[i]);
    return ;
}