【bzoj2699】更新 dp

题目描述

对于一个数列A[1..N]，一种寻找最大值的方法是：依次枚举A[2]到A[N]，如果A[i]比当前的A[1]值要大，那么就令A[1]=A[i]，最后A[1]为所求最大值。假设所有数都在范围[1, K]内，按上面的步骤执行，有多少个长度N的数列满足A[1]被更新的次数恰好为P呢？

输入

本题有多组数据。输入第一行一个数T为数据组数，下面T行每行依次三个数N、K和P。

输出

对每组数据输出一行，为方案数模1000000007的值。

样例输入

3
4 3 2
2 3 1
3 4 1

样例输出

6
3
30

---

题解

dp

设 $f[i][j][k]$ 表示 $i$ 个数，更新次数为 $j$ ，最大值为 $k$ 的方案数。

那么考虑第 $i$ 个数是否对最大值产生更新来进行转移：

当不产生更新时，前面最大值为 $k$ ，第 $i$ 个数的取值范围为 $[1,k]$ ，因此 $f[i][j][k]=f[i-1][j][k]*k$ ；

当产生更新时，前面最大值取值范围为 $[1,k-1]$ ，第 $i$ 个数的取值为 $k$ ，因此 $f[i][j][k]=\sum\limits_{l=1}^{k-1}f[i-1][j-1][l]$ 。

因此使用前缀和 $sum[i][j][k]=\sum\limits_{l=1}^kf[i][j][l]$ 来优化dp转移，即可预处理出所有的dp值。

最后对于每个询问直接输出答案即可。

时间复杂度 $O(npk)$

#include <cstdio>
#define mod 1000000007
long long sum[155][155][310];
int main()
{
	int i , j , k , T , x , y , z;
	for(i = 1 ; i <= 300 ; i ++ ) sum[1][1][i] = i;
	for(i = 2 ; i <= 150 ; i ++ )
		for(j = 1 ; j <= 150 ; j ++ )
			for(k = 1 ; k <= 300 ; k ++ )
				sum[i][j][k] = (sum[i][j][k - 1] + sum[i - 1][j - 1][k - 1] + (sum[i - 1][j][k] - sum[i - 1][j][k - 1]) * k % mod + mod) % mod;
	scanf("%d" , &T);
	while(T -- ) scanf("%d%d%d" , &x , &y , &z) , printf("%lld\n" , sum[x][z + 1][y]);
	return 0;
}