COGS2259 异化多肽

传送门

听说是多项式求逆的模板题，以后不怕没地方练多项式求逆啦哈哈……

……

我们设使用一个氨基酸能组成质量为$n$的多肽数量这个数列为$\{a_n\}$，设它的生成函数为$A(x)$，显然有

\begin{align}A(x)=\sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^m[C_j=i]\end{align}

即$A(x)$的$i$次方系数即为相对分子质量为$i$的氨基酸数量。

我们要求的是一个数列${b_n}$，它的第$n$项即为使用任意数目的氨基酸能组成质量为$n$的多肽数量，设它的生成函数为$B(x)$，那么有

\begin{align}A(x)=\sum_{i=0}^\infty B(x)^i\end{align}

右边化成封闭形式，得

\begin{align}A(x)=\frac 1{1-B(x)}\end{align}

多项式求逆即可，答案即为$[x^n]A(x)$。顺便一提，1005060097的原根是5。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int maxn=,p=,g=;
 void NTT(int*,int,int);
 void getinv(int*,int*,int);
 int qpow(int,int,int);
 int n,m,N=,x,A[maxn]={},B[maxn];
 int main(){
     freopen("polypeptide.in","r",stdin);
     freopen("polypeptide.out","w",stdout);
     scanf("%d%d",&n,&m);
     while(N<=n)N<<=;
     while(m--){
         scanf("%d",&x);
         A[x]=(A[x]+p-)%p;
     }
     A[]=(A[]+)%p;
     getinv(A,B,N);
     printf("%d",B[n]);
     return ;
 }
 void NTT(int *A,int n,int tp){
     for(int i=,j=,k;i<n-;i++){
         k=n;
         do j^=(k>>=);while(j<k);
         if(i<j)swap(A[i],A[j]);
     }
     for(int k=;k<=n;k<<=){
         int wn=qpow(g,(tp>?(p-)/k:(p-)/k*(long long)(p-)%(p-)),p);
         for(int i=;i<n;i+=k){
             int w=;
             for(int j=;j<(k>>);j++,w=(long long)w*wn%p){
                 int a=A[i+j],b=(long long)w*A[i+j+(k>>)]%p;
                 A[i+j]=(a+b)%p;
                 A[i+j+(k>>)]=(a-b+p)%p;
             }
         }
     }
     if(tp<){
         int inv=qpow(n,p-,p);
         for(int i=;i<n;i++)A[i]=(long long)A[i]*inv%p;
     }
 }
 void getinv(int *A,int *C,int n){
     static int B[maxn];
     fill(C,C+n,);
     C[]=qpow(A[],p-,p);
     for(int k=;k<=n;k<<=){
         copy(A,A+k,B);
         fill(B+k,B+(k<<),);
         NTT(B,k<<,);
         NTT(C,k<<,);
         for(int i=;i<(k<<);i++)C[i]=C[i]*((-((long long)B[i]*C[i]%p)+p)%p)%p;
         NTT(C,k<<,-);
         fill(C+k,C+(k<<),);
     }
 }
 int qpow(int a,int b,int p){
     int ans=;
     for(;b;b>>=,a=(long long)a*a%p)if(b&)ans=(long long)ans*a%p;
     return ans;
 }

其实我对NTT和生成函数只是刚入门而已……我们的征途是星辰大海……