使用randA()生成randB()

　　randA()表示可以随机生成1……A的整数

rand7()生成rand5()

int Rand5(){

    int x = ~(1<<31); // max int

    while(x > 5)

        x = Rand7();

    return x;

}

证明：我们要的1可能是第一次调用Rand7时产生，也可能是第二次，第三次，…第n次。第1次就生成1，概率是1/7；第2次生成1，说明第1次没生成1到5间的数而生成了6，7，所以概率是(2/7)*(1/7)，依次类推。生成1的概率计算如下：
P(x=1)=1/7 + (2/7) * 1/7 + (2/7)² * 1/7 + (2/7)³ * 1/7 + ...
=1/7 * (1 + 2/7 + (2/7)² + ...) // 等比数列
=1/7 * 1 / (1 - 2/7)
=1/7 * 7/5
=1/5

　　得到一个一般的结论，如果a > b，那么一定可以用Randa去实现Randb。其中， Randa表示等概率生成1到a的函数，Randb表示等概率生成1到b的函数。代码如下：

// a > b

int Randb(){

    int x = ~(1<<31); // max int

    while(x > b)

        x = Randa();

    return x;

}

rand5()生成rand7()

　　只要我们将Rand5 映射到一个能产生更大随机数的Randa，其中a > 7，就可以套用上面的模板了。
eg.Rand5() + Rand5() - 1(错误的)
　　上述代码可以生成1到9的数，但它们是等概率生成的吗？不是。生成1只有一种组合：两个Rand5()都生成1时：(1, 1)；而生成2有两种：(1, 2)和(2, 1)；生成6更多。它们的生成是不等概率的。

\(5 * (Rand5() - 1) + Rand5()\)
　　Rand5产生1到5的数，减1就产生0到4的数，乘以5后可以产生的数是：0,5,10,15,20。再加上第二个Rand5()产生的1,2,3,4,5。我们可以得到1到25，而且每个数都只由一种组合得到，即上述代码可以等概率地生成1到25。
　　套用上面的模板，我们可以得到如下代码：

int Rand7(){

    int x = ~(1<<31); // max int

    while(x > 7)

        x = 5 * (Rand5() - 1) + Rand5() // Rand25

    return x;

}

　　上面的代码有什么问题呢？可能while循环要进行很多次才能返回。因为Rand25会产生1到25的数，而只有1到7时才跳出while循环，生成大部分的数都舍弃掉了。这样的实现明显不好。我们应该让舍弃的数尽量少，于是我们可以修改while中的判断条件，让x与最接近25且小于25的7的倍数相比。于是判断条件可改为x > 21，于是x的取值就是1到21。我们再通过取模运算把它映射到1-7即可。代码如下：

int Rand7(){

    int x = ~(1<<31); // max int

    while(x > 21)

        x = 5 * (Rand5() - 1) + Rand5() // Rand25

    return x%7 + 1;

}

　　这个实现就比上面的实现要好，并且可以保证等概率生成1到7的数。

Rand a生成Rand b

　　从特殊到一般。现在我给你两个生成随机数的函数Randa， Randb。Randa和Randb分别产生1到a的随机数和1到b的随机数，a，b不相等 (相等就没必要做转换了)。现在让你用Randa实现Randb。

如果a > b，进入步骤2；否则构造\(Randa^2 = a * (Randa – 1) + Randa\)，表示生成1到a² 随机数的函数。如果a² 仍小于b，继教构造\(Randa^3 = a * (Randa2 – 1) + Randa\)……直到a^k > b，这时我们得到Randa^k , 我们记为RandA。
步骤1中我们得到了RandA(可能是Randa或Randa^k )，其中A > b，我们用下述代码构造Randb：

// A > b

int Randb(){

    int x = ~(1<<31); // max int

    while(x > b*(A/b)) // b*(A/b)表示最接近A且小于A的b的倍数

        x = RandA();

    return x%b + 1;

}

　　从上面一系列的分析可以发现，如果给你两个生成随机数的函数Randa和Randb，你可以通过以下方式轻松构造Randab，生成1到a*b的随机数。
\(Randab = b * (Randa - 1) + Randb\)
\(Randab = a * (Randb - 1) + Randa\)
　　如果再一般化一下，我们还可以把问题变成：给你一个随机生成a到b的函数，用它去实现一个随机生成c到d的函数。

http://www.frankyang.cn/2017/09/06/randa-randb/