大数因式分解 Pollard_rho 算法详解

给你一个大数n，将它分解它的质因子的乘积的形式。

首先需要了解Miller_rabin判断一个数是否是素数

大数分解最简单的思想也是试除法，这里就不再展示代码了，就是从2到sqrt(n)，一个一个的试验，直到除到1或者循环完，最后判断一下是否已经除到1了即可。

但是这样的做的复杂度是相当高的。一种很妙的思路是找到一个因子（不一定是质因子），然后再一路分解下去。这就是基于Miller_rabin的大数分解法Pollard_rho大数分解。

Pollard_rho算法的大致流程是 先判断当前数是否是素数（Miller_rabin）了，如果是则直接返回。如果不是素数的话，试图找到当前数的一个因子（可以不是质因子）。然后递归对该因子和约去这个因子的另一个因子进行分解。

那么自然的疑问就是，怎么找到当前数n的一个因子？当然不是一个一个慢慢试验，而是一种神奇的想法。其实这个找因子的过程我理解的不是非常透彻，感觉还是有一点儿试的意味，但不是盲目的枚举，而是一种随机化算法。我们假设要找的因子为p，他是随机取一个x1，由x1构造x2，使得｛p可以整除x1-x2 && x1-x2不能整除n｝则p=gcd（x1-x2，n），结果可能是1也可能不是1。如果不是1就找寻成功了一个因子，返回因子；如果是1就寻找失败，那么我们就要不断调整x2，具体的办法通常是x2=x2*x2+c（c是自己定的）直到出现x2出现了循环==x1了表示x1选取失败重新选取x1重复上述过程。（似乎还存在一个每次找寻范围*2的优化，但是不太懂。。。）

因为x1和x2再调整时最终一定会出现循环，形成一个类似希腊字母rho的形状，故因此得名。

另外通过find函数来分解素数，如果找到了一个素数因子则加入到因子map中，否则如果用Pollard找到一个因子则递归去找素数因子。

 #include<iostream>
 #include<ctime>
 #include<algorithm>
 #include<map>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 map<ll, int>m;
 const int mod = ;
 const int times = ;//测试50次
 ll mul(ll a, ll b, ll m)
 //求a*b%m
 {
     ll ans = ;
     a %= m;
     while(b)
     {
         if(b & )ans = (ans + a) % m;
         b /= ;
         a = (a + a) % m;
     }
     return ans;
 }
 ll pow(ll a, ll b, ll m)
 //a^b % m
 {
     ll ans = ;
     a %= m;
     while(b)
     {
         if(b & )ans = mul(a, ans, m);
         b /= ;
         a = mul(a, a, m);
     }
     ans %= m;
     return ans;
 }
 bool Miller_Rabin(ll n, int repeat)//n是测试的大数，repeat是测试重复次数
 {
     if(n ==  || n == )return true;//特判
     if(n %  ==  || n == )return false;//偶数和1

     //将n-1分解成2^s*d
     ll d = n - ;
     int s = ;
     while(!(d & )) ++s, d >>= ;
     //srand((unsigned)time(NULL));在最开始调用即可
     for(int i = ; i < repeat; i++)//重复repeat次
     {
         ll a = rand() % (n - ) + ;//取一个随机数,[2,n-1)
         ll x = pow(a, d, n);
         ll y = ;
         for(int j = ; j < s; j++)
         {
             y = mul(x, x, n);
             if(y ==  && x !=  && x != (n - ))return false;
             x = y;
         }
         if(y != )return false;//费马小定理
     }
     return true;
 }
 ll gcd(ll a, ll b)
 {
     return b ==  ? a : gcd(b, a % b);
 }
 ll pollard_rho(ll n, ll c)//找到n的一个因子
 {
     ll x = rand() % (n - ) + ;
     ll y = x, i = , k = ;
     while()
     {
         i++;
         x = (mul(x, x, n) + c) + n;//不断调整x2
         ll d = gcd(y - x, n);
         if( < d && d < n)
             return d;//找到因子
         if(y == x)
             return n;//找到循环，返回n，重新来
         if(i == k)//一个优化
         {
             y = x;
             k <<= ;
         }
     }
 }
 void Find(ll n, ll c)
 {
     if(n == )return;//递归出口

     if(Miller_Rabin(n, times))//如果是素数，就加入
     {
         m[n]++;
         return;
     }

     ll p = n;
     while(p >= n)
         p = pollard_rho(p, c--);//不断找因子，知道找到为止，返回n说明没找到

     Find(p, c);
     Find(n / p, c);
 }
 int main()
 {
     ll n;srand((unsigned)time(NULL));
     while(cin >> n)
     {
         m.clear();
         Find(n, rand() % (n - 1) + 1);//这是自己设置的一个数
         cout<<n<<" = ";
         for(map<ll ,int>::iterator it = m.begin(); it != m.end();)
         {
             cout<<it->first<<" ^ "<<it->second;
             if((++it) != m.end())
                cout<<" * ";
         }
         cout<<endl;
     }
     return ;
 }