贝塞尔曲线.简单推导与用opengl实现动态画出。

在opengl中，我们可以用少许的参数来描述一个曲线，其中贝塞尔曲线算是一种很常见的曲线控制方法，我们先来看维基百科里对贝塞尔曲线的说明：

线性贝塞尔曲线

给定点P₀、P₁，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：

且其等同于线性插值。

二次方贝塞尔曲线

二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P₀、P₁、P₂的函数B（t）追踪：

。

TrueType字体就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。

一些关于参数曲线的术语，有

即多项式

又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式，定义0⁰ = 1。

点P_i称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于P₀并以P_n终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。

在这里贴这些，是因为让我们有个基本的理解，下面把维基百科里一个动态图放上，让大家有更清晰了解贝塞尔曲线是如何生成的。

然后我们来分析相应数据的产生。最简单的二点，其实就是线段的参数化，大家能简单得到f(t)=p0+(p1-p0)*t=(1-t)p0+t*p1.

二次方贝塞尔曲线话，我直接用下面的图给出相应过程。

对应的三次方贝塞尔曲线，我们会如下图来门简略说明。

在上面，我们给出用我们推导的过程。下面是根据这个过程生成的主要代码。

 type BezierCurve() =

     static member BasicCurve (p0:Vector3, p1:Vector3,t) = (.f-t)*p0 + t*p1

     static member GetCurveValue(points : Vector3[],t:float32) =

         //求得我们是几次方贝兹曲线

         let j = points.Length -

         //复制最先的点p0-pn,以免被新赋值。

         let mutable ps = [| for p in points -> p|]

         //这是控制层数，如三次方贝兹曲线

         //则分别是第一层[p0;p1;p2;p3]二[p4;p5;p6]三[p7;p8]四[p9]

         for n = j downto  do

             for i =  to n -  do

                 let p0 = ps.[i]

                 let p1 = ps.[i+]

                 //如上，根据(p0,p1求p4)(p1,p2求p5),(p4,p5求p7)

                 ps.[i] <- BezierCurve.BasicCurve(p0,p1,t)

         //就是上面p9

         ps.[]

     static member CreateCurve(points : Vector3[],count:int) =

         let ps = Array.create count Vector3.Zero

         let step = .f/float32 count

         let len = count -

         for i =  to len do

             ps.[i] <- BezierCurve.GetCurveValue(points,step * float32 i)

         ps

     static member GetCurveValueS(points : Vector3[],t:float32) =

         let j = points.Length -

         let mutable ps = [| for p in points -> p|]

         let mutable rs = [||]

         for n = j downto  do

             for i =  to n -  do

                 let p0 = ps.[i]

                 let p1 = ps.[i+]

                 ps.[i] <- BezierCurve.BasicCurve(p0,p1,t)

             rs <- Array.append rs ps.[ .. n-]

         ps.[],rs

BasicCurve就是我们线段的参数化，pt=p0+(p1-p0)*t=(1-t)p0+t*p1.

而GetCurveValue就是如上面所示，求多次方贝兹曲线在t(0<t<1)时的值。

而CreateCurve这个就是我们要生成的贝兹曲线在程序里的精度，值越高则画的点越多。看起来越逼真。

那下来，我们来生成如维基百科的那种动态图，也好加深的我们的印象。根据动态图，我们要知道的是，在t点，每一层相邻的二个点走到那了(也就是上面的GetCurveValueS的实现)，这里给出主要的代码。

     override v.OnRenderFrame(e) =

         base.OnRenderFrame e

         GL.Clear (ClearBufferMask.ColorBufferBit ||| ClearBufferMask.DepthBufferBit)

         let mutable lookat = Matrix4.LookAt(caram.Eye,caram.Target,Vector3.UnitY)

         GL.MatrixMode(MatrixMode.Modelview)

         GL.LoadMatrix(&lookat)

         GL.Color3(Color.White)

         GL.VertexPointer(,VertexPointerType.Float,,vs)

         GL.DrawArrays(BeginMode.LineStrip,,vs.Length)

         currentTime <- currentTime + e.Time

         if currentTime > totalTime  && frame < allFrame then

             frame <- frame +

             let currentStep =float32 frame/float32 allFrame

             let v = BezierCurve.GetCurveValueS(vs,currentStep)

             ac <- Array.append ac [|fst v|]

             ps <- snd v

             currentTime <- currentTime - totalTime

             printfn "ac:%A" ps

         let mutable step =

         for i = vs.Length -  downto  do

             if ps.Length > step + i then

                 let is = ps.[step .. step + i]

                 GL.VertexPointer(,VertexPointerType.Float,,is)

                 GL.DrawArrays(BeginMode.LineStrip,,is.Length)

                 step <- step + i +

                 printfn "is:%A" is

         GL.Color3(Color.Red)

         GL.VertexPointer(,VertexPointerType.Float,,ac)

         GL.DrawArrays(BeginMode.LineStrip,,ac.Length)

         v.SwapBuffers()

在上面，我们用totalTime控制显示的快慢，用allFrame控制我们要显示的精度。frame表示当前t点的情况。