logistic回归和softmax回归

logistic：二分类

softmax：多分类

logistic回归

在 logistic 回归中，我们的训练集由  个已标记的样本构成：。由于 logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记 。

假设函数(hypothesis function): 

代价函数(损失函数):

我们的目标是训练模型参数，使其能够最小化代价函数。

假设函数就相当于我们在线性回归中要拟合的直线函数。

softmax回归

在 softmax回归中，我们的训练集由  个已标记的样本构成：。由于softmax回归是针对多分类问题（相对于 logistic 回归针对二分类问题），因此类标记  可以取  个不同的值（而不是 2 个）。我们有 。

对于给定的测试输入 ，我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值 。也就是说，我们想估计  的每一种分类结果出现的概率。因此，我们的假设函数将要输出一个  维的向量（向量元素的和为1）来表示这  个估计的概率值。 具体地说，我们的假设函数  形式如下：

假设函数：

其中  是模型的参数。请注意 这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。

为了方便起见，我们同样使用符号  来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时，将  用一个  的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将  按行罗列起来得到的，如下所示：

也就是说表示的是x属于不同类别的概率组成的向量。

代价函数：

 是示性函数，其取值规则为

 值为真的表达式 

值得注意的是，logistic回归代价函数是softmax代价函数的特殊情况。因此，logistic回归代价函数可以改为：

一点个人理解：

为什么二分类中参数只有一个，而k分类中参数却有k个。

其实二分类中的是y=1情况下的参数，而y=0情况下其实未给出参数，因为y=0的假设函数值可以通过1-(y=1的假设函数值)得到。同理，k分类中参数其实只需要k-1个参数就可以了，多余的一个参数是冗余的。
具体冗余参数有什么负面影响，参考Softmax回归 http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax%E5%9B%9E%E5%BD%92

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知乎：https://www.zhihu.com/question/23765351