求双连通分量的详解。（根据刘汝佳的训练指南p314）

先看如下的两个定义：

• 点-双连通图：一个连通的无向图内部没有割点，那么该图是点-双连通图。

        注意：孤立点，以及两点一边这两种图都是点-双连通的，因为它们都是内部无割点。

• 边-双连通图：一个连通的无向图内部没有桥，那么该图就是边-双连通图。

        注意：孤立点是边-双连通的，但是两点一边不是边-双连通的。

由上面定义可以知道：点-双连通图不一定是边-双连通的。

对于一张无向图，点-双连通的极大子图称为双连通分量。不难发现,每条边恰好属于一个双连通分量(所以两点一边是一个点-双连通分量)。但不同双连通分量可能会有公共点，可以证明不同双连通分量最多只有一个公共点，且它一定是割顶。另一方面任意割顶都是至少两个不同的点-双连通分量的公共点。

边-双连通的极大子图称为边-双连通分量。除了桥不属于任何边-双连通分量外，其他每条边恰好属于一个边-双连通分量，而且把所有桥删除之后,每个连通分量对应原图中的一个边-双连通分量。

总之:

判断一个图是不是点-双连通的只要看图中是否有割点。（比寻找割点多了个栈而已）

判断一个图是不是边-双连通的只要看图中是否有桥。

如果看到这里还有很多困惑，先画图思考矛盾的地方，然后看代码可以更清楚，前提是能看懂求割点的算法。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #include<vector>
 #include<stack>
 using namespace std;
 const int maxn=+;

 int n,m;
 int bcc_cnt;
 int dfs_clock;      //bcc_cnt计数一共有多少个点-双连通分量
 int pre[maxn];      //vis标记，同时也标记了是树中的第几个点
 bool iscut[maxn];
 int bccno[maxn];    //bccno[i]=x表示第i个顶点属于x号点双连通分量
 vector<int> G[maxn],bcc[maxn];  //bcc[i]中包含了i号点-双连通分量的所有节点

 struct Edge //边的结构体
 {
     int u,v;
     Edge(int u,int v):u(u),v(v){}
 };
 stack<Edge> S;

 int dfs(int u,int fa)
 {
     int lowu=pre[u]=++dfs_clock;
     int child=;
     for(int i=;i<G[u].size();i++)
     {
         int v=G[u][i];      //取出点
         Edge e = Edge(u,v); //创建这条边

         if(!pre[v]) //v没有被访问过
         {
             S.push(e);      //将边入栈
             child++;
             int lowv=dfs(v,u);  //求low先
             lowu=min(lowu,lowv);
             if(lowv >= pre[u])  //本节点是割点
             {
                 iscut[u]=true;
                 bcc_cnt++;              //注意bcc_cnt从1开始编号
                 bcc[bcc_cnt].clear();   //清除之前留下的
                 while(true)             //产生一个双连通分量，
                 {
                     Edge x=S.top();     //逐次取出边
                     S.pop();
                     //1个点可能属于多个连通分量，且它一定是割点。
                     if(bccno[x.u]!=bcc_cnt)     //这个点还没有统计到这个连通分量。
                     {
                         bcc[bcc_cnt].push_back(x.u);
                         bccno[x.u]=bcc_cnt;     //预防重复统计
                     }
                     if(bccno[x.v]!=bcc_cnt)
                     {
                         bcc[bcc_cnt].push_back(x.v);
                         bccno[x.v]=bcc_cnt;
                     }
                     if(x.u==u && x.v==v)      //扫到u-v，栈中又没有与u相连的边了。继续试试其他孩子
                         break;
                 }
             }
         }
         else if(pre[v]<pre[u]&&v!=fa)     //点v在u上面就被访问过，才可以更新，在下面访问过的，不可以！
         {
             S.push(e);      //这个是和u在一起的双连通分量
             lowu=min(lowu,pre[v]);
         }
     }

     /*
     根的孩子必须大于1才会是割点，有割点才会有双连通分量。
     （1）那么如果根不是割点呢？
     假设根不是割点，那么根最多只有1个孩子，也就是说根的度为1，那么根不可能处于任何1个双连通分量中。
     假设根是割点，那么每个孩子各自是一个连通分量。那么就会在上面的代码中被处理为一个双联通分量。
     （2）如果有桥呢？比如u-v是桥，那么会怎样？
     假设u-v是桥，且u在数中的时间戳比较小。可知v也就是一个割点啦，u-v断开后，与v相连的都成为一个双连通分量了。
     回溯到u时，栈中（或顶）没有包含u的边，直到另一个连通分量的产生。
     如果u的孩子中没有连通分量了，那么与u相连的孩子肯定有边连到u的上边，他们又形成了一个环了，双连通分量又产生了，由其他割点去解决。
     */
     if(fa< && child==) iscut[u]=false;
     return lowu;
 }

 void find_bcc(int n)
 {
     memset(pre,,sizeof(pre));
     memset(iscut,,sizeof(iscut));
     memset(bccno,,sizeof(bccno));
     dfs_clock = bcc_cnt = ;
     for(int i=;i<n;i++)            //为了防止有多个连通图，全部都得搜
         if(!pre[i]) dfs(i,-);
 }
 int main()
 {
     while(scanf("%d%d",&n,&m)==&&n)
     {
         for(int i=;i<n;i++) G[i].clear();  //点集
         for(int i=;i<m;i++)        //输入边
         {
             int u,v;
             scanf("%d%d",&u,&v);
             G[u].push_back(v);
             G[v].push_back(u);
         }
         find_bcc(n);    //计算双连通分量的个数
         printf("点-双连通分量一共%d个\n",bcc_cnt);

         for(int i=;i<=bcc_cnt;i++)     //输出每个双连通分量。可能点A在第一个双连通分量中输出，又出现在第2个双连通分量中，因为它是割点。
         {
             printf("第%d个点-双连通分量包含以下点:\n",i);
             sort(&bcc[i][],&bcc[i][]+bcc[i].size()); //对vector排序,使输出的点从小到大
             for(int j=;j<bcc[i].size();j++)
             {
                 printf("%d ",bcc[i][j]);
             }
             printf("\n");
         }
     }
     return ;
 }

 带注释的源码

带注释的源码

需要注意的是：

• 单个点不算是一个双连通分量，比如仅有1个点的图。
• 两个点一条边的子图算是一个双连通分量。比如:a-b-c 这个图中有两个双连通分量：a-b和b-c。
• 算法中已经考虑到根和叶子和非叶子节点，所以不用例外去添加代码。
• 根据需要可删减。比如可以不用vector来存储所有连通分量等等。