w

https://en.wikipedia.org/wiki/Planar_graph

The Polish mathematician Kazimierz Kuratowski provided a characterization of planar graphs in terms of forbidden graphs, now known as Kuratowski's theorem:

finite graph is planar if and only if it does not contain a subgraph that is a subdivision of K5 (the complete graph on five vertices) or K3,3 (complete bipartite graph on six vertices, three of which connect to each of the other three, also known as the utility graph).

subdivision of a graph results from inserting vertices into edges (for example, changing an edge •——• to •—•—•) zero or more times.

 

An example of a graph which doesn't have K5 or K3,3 as its subgraph. However, it has a subgraph that is homeomorphic to K3,3 and is therefore not planar.

Instead of considering subdivisions, Wagner's theorem deals with minors:

A finite graph is planar if and only if it does not have K5 or K3,3 as a minor.

 

An animation showing that the Petersen graph contains a minor isomorphic to the K3,3 graph

Klaus Wagner asked more generally whether any minor-closed class of graphs is determined by a finite set of "forbidden minors". This is now the Robertson–Seymour theorem, proved in a long series of papers. In the language of this theorem, K5 and K3,3 are the forbidden minors for the class of finite planar graphs.

https://zh.wikipedia.org/wiki/平面图_(图论)

波兰数学家卡齐米日·库拉托夫斯基提出的一类禁忌准则(指满足某种条件的图就一定无法具有某个性质)中,也包括了平面图的情况。他提出的一个定理说明:

一个有限图(顶点数和边数有限的图)是平面图当且仅当它并不包含一个是{\displaystyle K_{5}}(有五个顶点的完全图)或{\displaystyle K_{3,3}}(三个顶点的二部图)的分割的子图[1]

其中,一个图A是另一个图B分割是指:A是在B的基础上,在某些边的中间加上顶点:

而得到的新的图。

用图的同胚理论来说,就是:一个有限图是平面图当且仅当这个图不包含任何同胚的子图。

这个定理的一般化是罗伯森-西摩定理

Kuratowski's and Wagner's theorems的更多相关文章

  1. The Hundred Greatest Theorems

    The Hundred Greatest Theorems The millenium seemed to spur a lot of people to compile "Top 100& ...

  2. POJ 2914 Minimum Cut Stoer Wagner 算法 无向图最小割

    POJ 2914 题意:给定一个无向图 小于500节点,和边的权值,求最小的代价将图拆为两个联通分量. Stoer Wagner算法: (1)用类似prim算法的方法求"最大生成树" ...

  3. Theorems for existence and uniqueness of variational problem

    Introduction Among simulation engineers, it is well accepted that the solution of a PDE can be envis ...

  4. Philipp Wagner

    本文大部分来自OpenCV官网上的Face Reconition with OpenCV这节内容(http://docs.opencv.org/modules/contrib/doc/facerec/ ...

  5. Fixed theorems

    Banach Schauder Bourbaki-Kneser

  6. poj Minimum( CutStoer Wagner算法)

    Minimum Cut 题目: 给出一张图.要求你删除最小割权和图. 算法分析: ////////////////////     转载 --- ylfdrib   ///////////////// ...

  7. JSONP的诞生、原理及应用实例

    问题: 页面中有一个按钮,点击之后会更新网页中的一个盒子的内容. Ajax可以很容易的满足这种无须刷新整个页面就可以实现数据变换的需求. 但是,Ajax有一个缺点,就是他不允许跨域请求资源. 如果我的 ...

  8. 实例讲解 SQL 注入攻击

    这是一篇讲解SQL注入的实例文章,一步一步跟着作者脚步探索如何注入成功,展现了一次完整的渗透流程,值得一读.翻译水平有限,见谅! 一位客户让我们针对只有他们企业员工和顾客能使用的企业内网进行渗透测试. ...

  9. Effective C#中文版

    我看的书是<Effective C#中文版——改善C#程序的50种方法>,Bill Wagner著,李建忠译.书比较老了,04年写的,主要针对C#1.0,但我相信其中的观点现在仍有价值.( ...

随机推荐

  1. php RSA 加密 与java加密互交,java解密

    <? php class encrypt{ var $pub_key; function redPukey() { $pubKey = "MIIDhzCCAm+gAwIBAgIGASY ...

  2. Hybird App(一)----第一次接触

    App你知道多少 一 什么是Native App 长处 缺点 二 什么是Web App 长处 缺点 三 什么是Hybrid App 长处 缺点 四 Web AppHybrid AppNative Ap ...

  3. WP8控件进度条(ProgressBar)的使用

    --前台代码 <Grid x:Name="ContentPanel"  Grid.Row="1" Margin="0,0,24,0"& ...

  4. c++ vector容器的使用,序列倒叙reverse(),容器底部插入一个数值push_back()

    问题:程序实现将que[i]添加到que2最后,再将que2反转输出. 例如: 输入 4 1 2 3 4 输出 4 2 1 3 #include<iostream> #include< ...

  5. android-pull方式解析xml文件以及XML文件的序列化

    android解析XML ---------------------------基础要像磐石 在android平台上可以使用SAX.DOM和自带的Pull解析器解析xml文件,本文主要介绍使用pull ...

  6. the filename directory name or volume label syntax is incorrect

    使用virtual PC 时出现的一些问题 1.问题点:在安装virtual PC的时候,需要先安装WindowsXPMode_en-us.exe 我下载的英文版,路径默认在C:\360安全浏览器下载 ...

  7. weka入门

    每天都必须记录自己的一点一滴,不记录下来,过一段时间就会忘记,忘记了就等于没有经历过. 我不能每天这样浑浑噩噩的过下去.我要有计划,有梦想.追求卓越.成就不同. 我今天開始我的学习weka之路.学的时 ...

  8. Linux禁止非WHEEL用户使用SU命令

    通常情况下,一般用户通过运行"su -"命令.输入正确的rootpassword.能够登录为root用户来对系统进行管理员级别的配置. 可是.为了更进一步加强系统的安全性,有必要建 ...

  9. C#中怎样将List&lt;自己定义&gt;转为Json格式 及相关函数-DataContractJsonSerializer

    对C#和.net使用List<自己定义>和Json格式相互转化的方法进行总结 关于JSON的入门介绍见http://www.json.org/ ,或者百度,这里不赘述,只是通过以下的样例会 ...

  10. SpringCloud系列六:Eureka的自我保护模式、IP选择、健康检查

    1. 回顾 前面讲了很多Eureka的用法,比如Eureka Server.Eureka Server的高可用.Eureka Server的用户认证(虽然未完全实现).元数据等, 这章将讲解剩下的自我 ...