Codeforces 893E Counting Arrays：dp + 线性筛 + 分解质因数 + 组合数结论

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/893/E

题意：

　　共q组数据(q <= 10^5)，每组数据给定x,y(x,y <= 10^6)。

　　问你有多少种长度为y，乘积为x的整数数列。（可以有负数）

题解：

　　首先考虑数列只有正整数的情况。

　　将x分解质因数：x = ∑ a[i]*p[i]

　　由于x较大，所以要先用线性筛求出素数，再枚举素数分解质因数。

　　那么一个乘积为x的数列可以看做，将x的所有∑ p[i]个质因子，分配到了y个位置上。

　　设f(i)表示：将p[i]个质因子a[i]，分配到y个位置上的方案数。

　　所以乘积为x的数列总数ans = ∏ f(i)。

　　其中，f(i)等价于：长度为y，和为p[i]的数列总数。

　　由于是多组数据，所以要预处理出对于所有长度的f(i)。

　　dp[i][j]表示y = i时，之和为j的数列总数。

　　转移：dp[i][j] = ∑ dp[i-1][0 to j]

　　用前缀和优化转移，总复杂度O(nlogn)。

　　这样就求出了只考虑正整数情况下的数列总数：ans = ∑ dp[y][p[i]]

　　然后考虑加负号的情况。

　　由于x为正数，所以只能加偶数个负号。

　　所以加负号的方案数 = C(y,0) + C(y,2) + C(y,4) + ... + C(y,偶数)

　　有一个组合数结论：∑ C(n,偶数) = ∑ C(n,奇数) = 2^(n-1)。

　　所以最终ans = ans * (2^(y-1))即为最终答案。

AC Code:

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #define MAX_X 1000005
 #define MAX_P 25
 #define SET_X 1000000
 #define SET_P 20
 #define MOD 1000000007

 using namespace std;

 int x,y,q;
 int cnt,tot=;
 int p[MAX_P];
 int pw[MAX_X];
 int prime[MAX_X];
 int dp[MAX_X][MAX_P];
 int sum[MAX_X][MAX_P];
 bool mark[MAX_X];

 void cal_dp()
 {
     memset(dp,,sizeof(dp));
     memset(sum,,sizeof(sum));
     dp[][]=;
     for(int i=;i<=SET_P;i++) sum[][i]=;
     for(int i=;i<=SET_X;i++)
     {
         for(int j=;j<=SET_P;j++)
         {
             dp[i][j]=sum[i-][j];
             sum[i][j]=(sum[i][j-]+dp[i][j])%MOD;
         }
     }
 }

 void cal_pw()
 {
     pw[]=;
     for(int i=;i<=SET_X;i++) pw[i]=(pw[i-]<<)%MOD;
 }

 void sieve()
 {
     memset(mark,false,sizeof(mark));
     for(int i=;i<=SET_X;i++)
     {
         if(!mark[i]) prime[++tot]=i;
         for(int j=;j<=tot && (long long)i*prime[j]<=SET_X;j++)
         {
             mark[i*prime[j]]=true;
             if(!(i%prime[j])) break;
         }
     }
 }

 void resolve()
 {
     int t=x;
     cnt=;
     memset(p,,sizeof(p));
     for(int i=;i<=tot && prime[i]*prime[i]<=x;i++)
     {
         if(t%prime[i]==)
         {
             cnt++;
             while(t%prime[i]==)
             {
                 t/=prime[i];
                 p[cnt]++;
             }
         }
     }
     if(t!=) p[++cnt]=;
 }

 int cal_ans()
 {
     resolve();
     long long ans=;
     for(int i=;i<=cnt;i++) ans=ans*dp[y][p[i]]%MOD;
     return ans*pw[y-]%MOD;
 }

 int main()
 {
     sieve();
     cal_dp();
     cal_pw();
     cin>>q;
     while(q--)
     {
         cin>>x>>y;
         cout<<cal_ans()<<endl;
     }
 }