LIS n*log(n)的理解

很多时候lis 用二分的方法比较方便 这里写一下他的原理

这里仅对严格的最长上升子序列做讨论

这里有两个数列  一个数列是 原串的数列 a1-an  另一个数列是最长上升子序列辅助数列　s数列的长度为 k， 是当前最长上升子序列长度

先来看看n*n的方法

dp[i]=max{dp[j]+1|j<i && ai>aj}

s数列是  对于当前的串  a1-ak  最长上升子序列为k  j<=k 上升子序列长度为j的子串中，第j位最小的数为sj

用类似递推的思想 顺序从a1推到an

s0=-INF(INF 指无穷大)

对于当前的数ai

k=max{dp[j]|j>=1&&j<i}

s串长度为k

sx=min{aj| j>=1&&j<i&&dp[j]=x}

从a1顺序判断道an，到第i个位置 ,如果s数列满足上文的条件，s数列的长度为k  如果ai>sk ，即a1-a(i-1)中最长上升子序列长度为k，并且第k为最小的数为sk，那么说明到当前最长上升子序列可以增加一位。那么k+=1；s(k+1)=ai;

如果第i位ai<=sk  那么他不能是最长上升子序列增加一位 ，但是，他可能更新s数列，因为如果我们发现在s数列中存在s(j-1)<ai and sj>ai

sj就应该被ai更新，因为如果不更新，那么在a1-ai串中 上升子序列长度为j的子串中 第j为最小的不是sj， 而是ai ，所以这与s串的要求是不相符的。应该用ai替换sj 使sj满足条件

所以该算法的思路应该是

我们得到一个数ai

1 如果当前s 数列的长度为0  ，则 s1=ai；

2 如果当前s数列的长度为k，

如果ai>sk 那么  我们可以吧ai 加入到s数列的末尾

如果ai<=sk 。则说明在s数列中有一个数能被更新。找到一个位置j 使s(j-1)<ai并且s(j)>=ai  用ai替换sj。否则 s数列是不合法的

因为s数列是递增的 （自己可以证明），所以找到j位置是一个log级的算法  综合起来 这就是一个n*（logn）的算法