大到可以小说的Y组合子（二）

问：上一回，你在最后曾提到“抽象性不足”，这话怎么说？

答：试想，如果现在需要实现一个其它的递归（比如：Fibonacci），就必须把之前的模式从头套一遍，然后通过fib_maker(fib_maker)来返回一个fib函数。可见，这个产生递归过程的“接口”让用户相当不舒服。

问：嗯，fib_maker(fib_maker)这种形式看起来的确不怎么舒服，那又如何对其进行抽象，以得到更好的接口呢？

答：这里，有两条路可以走。其一，就是对fact_maker(fact_maker)进一步抽象，便可得到传说中的Y组合子；其二，则是否定之前所为，走一条能反应Y组合子本质的路。二选一，你走那条？

问：???...

答：那就走第二条路吧，至于如何抽象出Y组合子，放到第（四）章谈。 在开始今天的讨论之前，我们先来定义一些委托类型，以方便后文的表达：

//C#
delegate T OuroborosFunc<T>(OuroborosFunc<T> self);
class Y<T, TResult>
{
        public delegate TResult Func1(T p);
        public delegate Func1 Func2(Func1 f1);
        public delegate Func1 Func3(Func2 f2);
        ... ...
}

这样就可以得到（==表示类型等价，并且在下文使用时省略Y<int,int>限定）：

//C#伪码
Func1 == Func<int,int>
Func2 == Func<Func1,Func1> == Func<Func<int,int>,Func<int,int>>
Func3 == Func<Func2,Func1> == Func<Func<Func<int,int>,Func<int,int>>,Func<int,int>>

OK，让我们回忆一下上一章的讨论：

//C#
OuroborosFunc<Func<int, int>> fact_maker =
    self => x => x == 0 ? 1 : x * self(self)(x - 1);

为了传递fact_maker给self，我们在Lambda的主体内做了让步——以self(self)的形式来表达fact递归。试想，如果我们不打算传入fact_maker，而是直接传入一个能表达递归的Lambda（类型为Func<int,int>，即Func1），且同时能返回这个Lambda，那么，将得到如下结果：

//C#
Func2 fact_seed = fact => x => x == 0 ? 1 : x * fact(x - 1);

对此，我们来做一个形式化的描述，令F为fact_seed,f为那个表达递归的Lambda，则：F(f) = f， 也就是说f是F的一个不动点。所谓函数的不动点，即函数作用于之得到的仍是其本身的那个点，如：若F(x)=x*x, 则1则是F的一个不动点，因为F(1)=1. 到这里，大家应该可以看出来了，我们期望得到的那个匿名递归fact，其实正是fact_seed的不动点。再试想，如果我们有这么一个函数Fix，它的作用就是求某个函数的不动点，那么，所要求的fact即为Fix(fact_seed).  终于，理想的接口产生了，那就是只要把诸如fact_seed这样的Lambda交给Fix，得到的不动点就是问题的解。

//C#
Func1 fact = Fix(fact_seed);
//或者
Func1 fact = Fix(fact => x => x == 0 ? 1 : x * fact(x - 1));

问：那这个Fix到底是什么呢？

答：根据以上伪码，Fix的类型已然昭昭：Func3，再根据其功能，似乎应该是这样一个高阶函数：

//C#伪码
Func3 Fix = f=>(f的不动点);

而f的不动点怎么表示呢？Fix(f)，这样代入上式其实什么也没有做。既然Fix(f)是f的不动点，那Fix(f)=f(Fix(f))=f(f(Fix(f)))...都应该是f的不动点。于是得到（当然也可以取f(f(Fix(f)))，我没测试过，应该没问题）：

//C#
Func3 Fix = f=>f(Fix(f));

这里需要稍加甄别，对于lazy求值的函数语言来说，上式的定义的确没问题，但是C#是eager求值的，所以Fix(some_f)表答的意思是——将f应用于Fix(some_f)的求值，而Fix(some_f)的求值势必导致新一轮的求值，直至堆栈溢出，可以这样修正这个问题：

//C#
Func3 Fix = f=>f(x=>Fix(f)(x));

现在可以来测试一下结果了：

//C#
int result = Fix(fact => x => x == 0 ? 1 : x * fact(x - 1))(5);
Console.WriteLine(result); //120

依然非常棒，得到了正确的结果。

问：慢着...这里似乎有问题啊，我们的目的是完成一个匿名的递归，那个fact_seed的确是可以做到匿名，但是Fix却是一个普通的递归啊！

答：Good Question! 那你想想应该怎么解决这个问题呢？

问：嗯，让我好好想想，再听你下回分解吧。

答：待续...